八戸工業大学の過去問【2019年一般入試】

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今回の問題

八戸工業大学2019年の過去問です。

一度マーク式の問題にして紹介いたしましたが、改めて全問を解説していこうと思います。

以前書いた記事はこちらから↓

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題の難易度について

難易度は☆☆☆です。

解く方針を立てるのは基礎的な知識で十分かと思います。ですが、第1問では分数が多く配置されているので根気強さと計算力が問われる問題が多いです。計算ミスをしないような工夫も必要です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第1問）

第1問

第1問の解説

問1

まずは不等式を解きます。

$6x^{2}-x-35=(3x+7)(2x-5)$

ですので、不等式は

$(3x+7)(2x-5)\geqq 0$

となります。したがって、この不等式の解は $\displaystyle x\leqq -\frac{7}{3},\ \frac{5}{2}\leqq x$ となりますが、問題文の要請で $x\leqq 0$ となっていますので $\displaystyle x\leqq -\frac{7}{3}$ が答となります。

問2

$x$ 軸と放物線 $\displaystyle y=x^{2}+\frac{k}{2}x+\frac{x}{3}+\frac{1}{36}$ との交点の個数は $x$ の2次方程式

$\displaystyle x^{2}+\frac{k}{2}x+\frac{x}{3}+\frac{1}{36}=0$

の実数解の個数になります。放物線と $x$ 軸が接していることが問題で設定されている条件ですので、この条件を満たす $k$ の値を求めることが目標です。先程の2次方程式を分母を払って整理すると

$36x^{2}+2(9k+6)x+1=0$

となります。この $x$ についての2次方程式の判別式を $D$ とすると

$\begin{eqnarray*} D/4&=&(9k+6)^{2}-36\\ &=&81k^{2}+108k+36-36\\ &=&81k^{2}+108k\\ &=&27k(3k+4)\end{eqnarray*}$

となります。 $D=0$ となるような $k$ の値が求めるものですが、 $k\lt 0$ が問題の条件として課されていますので $\displaystyle k=-\frac{4}{3}$ が答えになります。

問3

2次関数の式を平方完成します。

$\begin{eqnarray*} y&=&\frac{7}{3}x^{2}+\frac{8}{5}x-\frac{3}{35}\\ &=&\frac{7}{3}\left( x+\frac{12}{35}\right) ^{2}-\frac{48}{175}-\frac{15}{175}\\ &=&\frac{7}{3}\left( x+\frac{12}{35}\right) ^{2}-\frac{9}{25}\end{eqnarray*}$

したがって、最小値は $\displaystyle x=-\frac{12}{35}$ のとき $\displaystyle -\frac{9}{25}$ となります。

問4

求める2次関数を $y=ax^{2}+bx+c$ とおきます。点 $\displaystyle A\left( \frac{1}{2},-2\right)$ を通りますので

$\displaystyle \frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+c=-2$ …①

点 $\displaystyle B\left( -\frac{1}{3},-\frac{73}{9}\right)$ を通りますので

$\displaystyle \frac{1}{9}a-\frac{1}{3}b+c=-\frac{73}{9}$ …②

点 $\displaystyle C\left( \frac{1}{7},-\frac{243}{49}\right)$ を通りますので

$\displaystyle \frac{1}{49}a+\frac{1}{7}b+c=-\frac{243}{49}$ …③

をそれぞれ満たします。①、②、③の分母を払って連立方程式を組み立てると

$\left\{ \begin{array}{ccc} a+2b+4c&=&-8\\ a-3b+9c&=&-73\\ a+7b+49c&=&-243\end{array}\right.$

となります。この連立方程式を解くと $(a,b,c)=(2,7,-6)$ となりますので、求める2次関数は $y=2x^{2}+7x-6$ となります。

問題と問題の解説（第2問）

第2問

第2問の解説

問1

$\theta$ は鈍角なので $\cos{\theta }\lt 0$ です。 $\displaystyle \sin{\theta }=\frac{3}{4}$ なので、三角比の相互関係を用いると

$\begin{eqnarray*} \cos{\theta }&=&-\sqrt{1-\left( \frac{3}{4}\right) ^{2}}\\ &=&-\sqrt{1-\frac{9}{16}}\\ &=&-\sqrt{\frac{7}{16}}\\ &=&-\frac{\sqrt{7}}{4}\end{eqnarray*}$

となります。

問2

三角形の内角の和が $180^{\circ }$ であることより $\angle C=30^{\circ }$ となります。 $\triangle ABC$ に正弦定理を用いると

$\displaystyle \frac{AB}{\sin{C}}=\frac{BC}{\sin{A}}$

が成り立ちますので、ここから $BC$ の長さを求めると

$\begin{eqnarray*} \frac{4\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}&=&\frac{BC}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\\ BC&=&4\sqrt{2}\times 2\times \frac{1}{\sqrt{2}}\\ &=&8\end{eqnarray*}$

となります。

問3

3辺の長さが与えられていますので、 $\triangle ABC$ に余弦定理を用いると

$\begin{eqnarray*} \cos{A}&=&\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\times AB\times AC}\\ &=&\frac{2+3-6}{2\times \sqrt{2}\times \sqrt{3}}\\ &=&-\frac{1}{2\sqrt{6}}\\ &=&-\frac{\sqrt{6}}{12}\end{eqnarray*}$

となります。

問4

3辺の長さが与えられていますので、 $\triangle ABC$ に余弦定理を用いると

$\begin{eqnarray*} \cos{A}&=&\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\times AB\times AC}\\ &=&\frac{9+4-16}{2\times 3\times 2}\\ &=&-\frac{3}{12}\\ &=&-\frac{1}{4}\end{eqnarray*}$

となります。三角形の面積を求めるのに $\sin{A}$ の値が必要となりますので、三角比の相互関係を用いて $\sin{A}$ の値を求めると、 $\sin{A}\gt 0$ より

$\begin{eqnarray*} \sin{A}&=&\sqrt{1-\left( -\frac{1}{4}\right) ^{2}}\\ &=&\sqrt{1-\frac{1}{16}}\\ &=&\sqrt{\frac{15}{16}}\\ &=&\frac{\sqrt{15}}{4}\end{eqnarray*}$

となります。したがって、 $\triangle ABC$ の面積は

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\times AB\times AC\times \sin{A}&=&\frac{1}{2}\times 3\times 2\times \frac{\sqrt{15}}{4}\\ &=&\frac{3\sqrt{15}}{4}\end{eqnarray*}$

となります。

問題と問題の解説（第3問）

第3問

第3問の解説

問1

「分母を展開する→分母の実数化→整理」の順で進めていきます。

分母が $(1+2i)^{2}(3-4i)$ ですので、これを展開すると

$\begin{eqnarray*} (1+2i)^{2}(3-4i)&=&(1+4i-4)(3-4i)\\ &=&-(3-4i)^{2}\\ &=&-(9-24i-16)\\ &=&7+24i\end{eqnarray*}$

となりますので、与えられている複素数は $\displaystyle \frac{5+6i}{7+24i}$ と変形することができます。この分数の分母を実数化して変形していくと

$\begin{eqnarray*} \frac{5+6i}{7+24i}&=&\frac{(5+6i)(7-24i)}{7^{2}+24^{2}}\\ &=&\frac{35-120i+42i-144^{2}}{49+576}\\ &=&\frac{35+144+(42-120)i}{625}\\ &=&\frac{179-78i}{625}\\ &=&\frac{179}{625}-\frac{78}{625}i\end{eqnarray*}$

となります。

問2

以下の筆算より、求める余りは $57x-196$ です。

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

基礎的な問題ばかりでしたが、計算量が多いので慎重さが必要でした。

問1では分数が多いので、分母を払うなどの工夫をして計算を行わないとミスを誘発しやすいです。

問3も計算量が多いので、1つずつ丁寧に進めていく必要があります。

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目次

今回の問題

問題の難易度について

問題と問題の解説（第1問）

第1問

第1問の解説

問1

問2

問3

問4

問題と問題の解説（第2問）

第2問

第2問の解説

問1

問2

問3

問4

問題と問題の解説（第3問）

第3問

第3問の解説

問1

問2

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜