マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

九州女子大学の過去問【2019年一般選抜B日程】

入試問題の解説

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

目次

・今回の問題
・問題の難易度について
・第1問
・第2問
・第3問
・第4問
・第5問
・第6問
・第7問
・いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

今回の問題

九州女子大学2019年一般選抜B日程の問題です。

前回のA日程より易しいです。

問題の難易度について

難易度は☆☆です。

教科書傍用問題集のB問題くらいの難易度です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第1問）

第1問

第1問の解説

3問とも方程式の左辺は因数分解ができます。

(1)の問題の解説

$\begin{eqnarray*} 2x^{2}-3x-35&=&0\\ (2x+7)(x-5)&=&0\end{eqnarray*}$

より、この方程式の解は $\displaystyle x=-\frac{7}{2},\ 5$ （答えは選択肢の9番）

(2)の問題の解説

$\begin{eqnarray*} 12x^{2}+16x-3&=&0\\ (2x+3)(6x-1)&=&0\end{eqnarray*}$

より、この方程式の解は $\displaystyle x=-\frac{3}{2},\ \frac{1}{6}$ （答えは選択肢の1番）

(3)の問題の解説

$\begin{eqnarray*} 14x^{2}-13x-12&=&0\\ (7x+4)(2x-3)&=&0\end{eqnarray*}$

より、この方程式の解は $\displaystyle x=-\frac{4}{7},\ \frac{3}{2}$ （答えは選択肢の6番）

問題と問題の解説（第2問）

第2問

第2問の解説

絶対値の取り扱いに注意が必要です。絶対値の性質は次の通りです。

$\displaystyle |a|=\left\{ \begin{array}{cc} a&(a\geqq 0)\\ -a&(a\lt 0)\end{array}\right.$

(1)の問題の解説

以下のように解いていきます。

$|2x+1|\leqq 5$

$-5\leqq 2x+1\leqq 5$

$-6\leqq 2x\leqq 4$

$-3\leqq x\leqq 2$

答えは選択肢の2番です。

(2)の問題の解説

絶対値の性質に気をつけて解いていきます。

$3x-1\geqq 0$ すなわち $\displaystyle x\geqq \frac{1}{3}$ のとき

$\begin{eqnarray*} 3x-1&\leqq &x+1\\ 2x&\leqq &2\\ x&\leqq &1\end{eqnarray*}$

よって、このときの不等式の解は $\displaystyle \frac{1}{3}\leqq x\leqq 1$ となります。

$3x-1\lt 0$ すなわち $\displaystyle x\lt \frac{1}{3}$ のとき

$\begin{eqnarray*} -3x+1&\leqq x+1\\ -2x&\leqq &0\\ x&\geqq &0\end{eqnarray*}$

よって、このときの不等式の解は $\displaystyle 0\leqq x\lt \frac{1}{3}$ となります。

したがって、元の不等式の解は、先ほど求めた不等式の解の和集合となりますので $0\leqq x\leqq 1$ となります。（答えは選択肢の5番）

(3)の問題の解説

$2x-1\geqq 0$ すなわち $\displaystyle x\geqq \frac{1}{2}$ のとき

$\begin{eqnarray*} 2x-1&\leqq &x+3\\ x&\leqq &4\end{eqnarray*}$

よって、このときの不等式の解は $\displaystyle \frac{1}{2}\leqq x\leqq 4$ となります。

$2x-1\leqq 0$ すなわち $\displaystyle x\leqq \frac{1}{2}$ のとき

$\begin{eqnarray*} -2x+1&\leqq &x+3\\ -3x&\leqq &2\\ x&\geqq -\frac{2}{3}\end{eqnarray*}$

よって、このときの不等式の解は $\displaystyle -\frac{2}{3}\leqq x\lt \frac{1}{2}$ となります。

したがって、元の不等式の解は、先ほど求めた不等式の解の和集合となりますので $\displaystyle -\frac{2}{3}\leqq x\leqq 4$ となります。（答えは選択肢の4番）

問題と問題の解説（第3問）

第3問

第3問の解説

三角比の性質

・ $\sin{(90^{\circ }-\theta )}=\cos{\theta },\ \cos{(90^{\circ }-\theta )}=\sin{\theta }$

・ $\sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }=1$

を用いて式の値を求めます。

(1)の問題の解説

$65^{\circ }=90^{\circ }-25^{\circ }$ に注意すると

$\begin{eqnarray*} \sin{25^{\circ }}\cos{65^{\circ }}+\sin{65^{\circ }}\cos{25^{\circ }}&=&\sin{25^{\circ }}\sin{25^{\circ }}+\cos{25^{\circ }}\cos{25^{\circ }}\\ &=&\sin^{2}{25^{\circ }}+\cos^{2}{25^{\circ }}\\ &=&1\end{eqnarray*}$

(2)の問題の解説

$\sin{(90^{\circ }+\theta )}=\cos{\theta },\ \cos{(90^{\circ }+\theta )}=-\sin{\theta }$ を用いると、 $\theta +60^{\circ }=90^{\circ }+\theta -30^{\circ }$ より

$\begin{eqnarray*} \sin^{2}{(\theta -30^{\circ })}+\sin^{2}{(\theta +60^{\circ })}&=&\sin^{2}{(\theta -30^{\circ })}+(\cos{(\theta -30^{\circ })})^{2}\\ &=&1\end{eqnarray*}$

(3)の問題の解説

$40^{\circ }=90^{\circ }-50^{\circ }$ であることに注意すると

$(\sin{40^{\circ }}+\cos{40^{\circ }})^{2}+(\sin{50^{\circ }}-\cos{50^{\circ }})^{2}$

$=1+2\sin{40^{\circ }}\cos{40^{\circ }}+1-2\sin{50^{\circ }}\cos{50^{\circ }}$

$=2$

問題と問題の解説（第4問）

第4問

第4問の解説

条件 $p$ と $q$ があるときに

「 $p$ は $q$ であるための（　）条件である。」

という問題を解答するには、次の2つの命題の真偽を調べます。

(a) $p\Longrightarrow q$

(b) $q\Longrightarrow p$

真なら証明ができ、偽なら反例を挙げることができます。

2つの命題の真偽で、以下のように解答します。

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline & (b)真&(b)偽\\ \hline (a)真&必要十分条件&十分条件であるが必要条件ではない\\ \hline (a)偽&必要条件であるが十分条件ではない&必要条件でも十分条件でもない\\ \hline \end{array}$

詳細の解き方は「必要条件・十分条件の問題」で解説しています。

この問題の解答は

(1)十分条件であるが必要条件ではない

(2)必要十分条件

(3)十分条件であるが必要条件ではない

(4)必要条件であるが十分条件ではない

(5)必要条件でも十分条件でもない

となります。

問題と問題の解説（第5問）

第5問

第5問の解説

(1)の問題の解説

$4$ 進数で $1230$ で表される数を $10$ 進数で表すと

$\begin{eqnarray*} 1\times 4^{3}+2\times 4^{2}+3\times 4^{1}+0\times 4^{0}&=&64+32+12\\ &=&108\end{eqnarray*}$

となります。（答えは選択肢の9番）

(2)の問題の解説

$108=1\times 2^{6}+1\times 2^{5}+0\times 2^{4}+1\times 2^{3}+1\times 2^{2}+0\times 2^{1}+0\times 2^{0}$

ですので、 $4$ 進数で $1230$ で表される数、すなわち $10$ 進数で $108$ と表される数を $2$ 進数で表すと

$1101100$

となります。（答えは選択肢の5番）

(3)の問題の解説

自然数 $N$ を $3$ 進数で表すと $1a21$ になるので

$\begin{eqnarray*} N&=&1\times 3^{3}+a\times 3^{2}+2\times 3^{1}+1\times 3^{0}\\ &=&27+9a+6+1\\ &=&9a+34\end{eqnarray*}$

自然数 $N$ を $4$ 進数で表すと $2b3$ になるので

$\begin{eqnarray*} N&=&2\times 4^{2}+b\times 4^{1}+3\times 4^{0}\\ &=&32+4b+3\\ &=&4b+35\end{eqnarray*}$

となります。これらは同じ自然数を表していますので

$9a+34=4b+35$

が成り立ちます。この式を整理すると

$9a=4b+1$

となります。

$a$ は $0,\ 1,\ 2$ のいずれか、 $b$ は $0,\ 1,\ 2,\ 3$ のいずれかになりますので、この等式を満たすような $(a,b)$ の組は $(a,b)=(1,2)$ となります。

問題と問題の解説（第6問）

第6問

第6問の解説

(1)の問題の解説

放物線 $y=x^{2}-3x-1$ を平行移動したものを求めますので、求める放物線の式は

$y=x^{2}+ax+b$

とおくことができます。

この放物線が2点 $(1,-1)$ と $(2,0)$ を通るとき、次の連立方程式が成り立ちます。

$\left\{ \begin{array}{ccc} a+b+1&=&-1\\ 2a+b+4&=&0\end{array}\right.$

この連立方程式を解くと $a=-2,\ b=0$ となりますので、求める放物線の式は

$y=x^{2}-2x$

この式を変形すると

$y=(x-1)^{2}-1$

となりますので、この放物線の頂点は $(1,-1)$ であることがわかります。（答えは選択肢の7番）

(2)の問題の解説

放物線 $y=x^{2}$ を平行移動させたもので、頂点が直線 $y=-x+2$ 上にありますので、求める放物線の式は

$y=(x-p)^{2}-p+2$

とおくことができます。

この放物線が点 $(1,7)$ を通りますので

$7=(1-p)^{2}-p+2$

が成り立ちます。この式を整理すると

$p^{2}-3p-4=0$

となりますが、この方程式を解くと $p=-1,\ p=4$ となります。

$p=-1$ のとき、放物線の式は

$y=(x+1)^{2}+3$

$p=4$ のとき、放物線の式は

$y=(x-4)^{2}-2$

となります。（答えは2番と4番）

問題と問題の解説（第7問）

第7問

第7問の解説

解く方針は

・対角線を1本引く

・2つの三角形に対して余弦定理を用いて、向かい合う角の余弦の値を求める。

・三角比の相互関係を用いて制限の値を求める。

・2つの三角形の面積を求める。

となります。

円に内接する四角形は向かい合う角の和が $180^{\circ }$ であることに注意します。

今回は対角線 $BD$ を引いた場合で解いてみます。

$\triangle ABC$ に余弦定理を用いると

$BD^{2}=25-14\cos{B}$ …①

$\triangle ACD$ に余弦定理を用いると、 $\cos{D}=-\cos{B}$ であることに注意すると

$BD^{2}=61+60\cos{B}$ …②

①と②より $\displaystyle \cos{B}=-\frac{3}{7}$

であることが導かれます。ここで、三角比の相互関係を用いると

$\displaystyle \sin{B}=\frac{2\sqrt{10}}{7}$

となります。

したがって、 $\triangle ABC$ の面積は

$\displaystyle \frac{1}{2}\times 3\times 4\times \frac{2\sqrt{10}}{7}=\frac{12\sqrt{10}}{7}$

$\triangle ACD$ の面積は

$\displaystyle \frac{1}{2}\times 6\times 5\times \frac{2\sqrt{10}}{7}=\frac{30\sqrt{10}}{7}$

となりますので、四角形 $ABCD$ の面積は、これら2つの三角形の面積の和となりますので

$\displaystyle \frac{12\sqrt{10}}{7}+\frac{30\sqrt{10}}{7}=6\sqrt{10}$

となります。（答えは選択肢の5番）

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

難易度は教科書の節末問題・章末問題くらいかと思います。

ですので、教科書の問題を隅々まで解けば満点が狙えそうです。

また、出題範囲が数学Ⅰ＋Aですので、復習には良い問題になるかと思います。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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