必要条件・十分条件の問題【2021年高知県教員採用試験】

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

$x,\ y$ は実数とする。 $xy\lt 0$ は $|x+y|\gt x+y$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

2021年の高知県教員採用試験の過去問です。

今回の問題は反例を探したほうが良さそうです。

次の命題の真偽を調べます。

・ $xy\lt 0\Longrightarrow |x+y|\gt x+y$

・ $|x+y|\gt x+y\Longrightarrow xy\lt 0$

前者の命題については、 $x=2,\ y=-1$ とすると

$xy=-2,\ x+y=1,\ |x+y|=1$

となっています。

このとき、 $xy\lt 0$ を満たしていますが、 $|x+y|\gt x+y$ を満たしていません。

したがって、これが反例になりますので、この命題は偽の命題になります。

後者の命題については、 $x=-1,\ y=-1$ とすると

$xy=1,\ x+y=-2,\ |x+y|=2$

となっています。

このとき、 $|x+y|\gt x+y$ は満たしていますが、 $xy\lt 0$ を満たしていません。

したがって、これが反例になりますので、この命題は偽の命題となります。

以上から、 $xy\lt 0$ は $|x+y|\gt x+y$ であるための「必要条件でも十分条件でもない」となります。

符号が絡んでくる問題は $1$ と $-1$ などのように簡単なものから考えていくと反例が見つかりやすいです。

今回の問題もそのような方法で考えていくと、すぐに反例が見つかりました。

前回は不等式の表す領域を図示する方法で解きましたが、今回のように図示が難しそうであれば命題を立てて、その命題の真偽を調べるほうが良さそうです。

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