マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

必要条件・十分条件の問題【2022年宮城大学総合選抜】

必要条件・十分条件入試問題

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？

今回の問題

$x,\ y$ は実数とする。

(1) $(x-1)(y-2)=0$ は $x=1$ または $y=2$ であるための（　）

(2) $\triangle ABC$ が鋭角三角形であることは $\angle A\lt 90^{\circ }$ であるための（　）

(3) $\triangle ABC$ が鈍角三角形であることは $\angle A\gt 90^{\circ }$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

2022年の宮城大学総合選抜で出題された問題です。

公立大学でも必要条件・十分条件に関する問題が出題されているようです。

今回の問題の解説

(1)の問題について

命題 $(x-1)(y-2)=0\Longrightarrow x=1$ または $y=2$ の真偽を調べます。

$(x-1)(y-2)=0$ ならば $x-1=0$ または $y-2=0$ が成り立ちます。

したがって、 $x=1$ または $y=2$ であることが言えますので、この命題は真の命題となります。

命題 $x=1$ または $y=2\Longrightarrow (x-1)(y-2)=0$ の真偽を調べます。

$x=1$ のとき、 $x-1=0$ ですので $(x-1)(y-2)=0$ が成り立ちます。

$y=2$ のとき、 $y-2=0$ ですので $(x-1)(y-2)=0$ が成り立ちます。

したがって、この命題は真の命題となります。

以上から、 $(x-1)(y-2)=0$ であることは $x=1$ または $y=2$ であるための「必要十分条件」となります。

(2)の問題について

命題 $\triangle ABC$ が鋭角三角形 $\Longrightarrow \angle A\lt 90^{\circ }$ の真偽を調べます。

鋭角三角形とは、三角形のすべての内角が鋭角である三角形のことをいいます。

鋭角とは角の大きさが $90^{\circ }$ より小さい角のことをいいますので、 $\angle A\lt 90^{\circ }$ であることがいえます。

よって、この命題は真の命題になります。

命題 $\angle A\lt 90^{\circ }\Longrightarrow \triangle ABC$ が鋭角三角形の真偽を調べます。

$\angle A=30^{\circ },\ \angle B=120^{\circ },\ \angle C=30^{\circ }$ の $\triangle ABC$ は $\angle A\lt 90^{\circ }$ を満たしていますが、この三角形は鋭角三角形ではありません。

したがって、この命題は偽の命題となります。

以上から、 $\triangle ABC$ が鋭角三角形であることは $\angle A\lt 90^{\circ }$ であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

(3)の問題について

命題 $\triangle ABC$ が鈍角三角形 $\Longrightarrow \angle A\gt 90^{\circ }$ の真偽を調べます。

$\angle A=30^{\circ },\ \angle B=120^{\circ },\ \angle C=30^{\circ }$ の $\triangle ABC$ は鈍角三角形ですが、 $\angle A\gt 90^{\circ }$ を満たしていません。

よって、この命題は偽の命題となります。

命題 $\angle A\gt 90^{\circ }\Longrightarrow \triangle ABC$ は鈍角三角形の真偽を調べます。

$\angle A\gt 90^{\circ }$ ですので $\angle A$ が鈍角となります。

したがって、 $\triangle ABC$ は鈍角三角形になりますので、この命題は真の命題となります。

以上から、 $\triangle ABC$ が鈍角三角形であることは $\angle A\gt 90^{\circ }$ であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

いかがだったでしょうか？

(2)と(3)の問題は直感的にやると危険な問題ではないかと思います。

しっかりと立てるべき命題を立てて、真偽を調べていかないと正しい答えに行き着くことが難しいです。

(1)の問題は頻出問題です。

「または」と「かつ」には要注意です。

　

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