マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

yahoo!知恵袋にあった問題2【必要条件・十分条件】

大学入試対策必要条件・十分条件

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？

今回の問題

(1) $x=-3$ は $x^{2}=9$ であるための（　）

(2) $a,\ b$ は実数とする。 $a^{2}+b^{2}\not= 0$ は $a\not= 0$ かつ $b\not= 0$ であるための（　）

(3) $x,\ y$ は実数とする。 $x^{2}-y^{2}\geqq 0$ は $x-y\geqq 0$ であるための（　）

(4) $a,\ b$ は実数とする。 $a\geqq b$ は $|a-b|=a-b$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

今回もyahoo!知恵袋にあった問題です。

この問題も私は回答していません。

前回より難易度が高いかもしれませんが、基本事項をしっかりと理解していれば解けるかと思います。

今回の問題の解説

(1)の問題について

$x=-3\Longrightarrow x^{2}=9$ の真偽を調べます。

$(-3)^{2}=9$ ですので、 $x=-3$ のとき $x^{2}=9$ となります。

したがって、この命題は真です。

$x^{2}=9\Longrightarrow x=-3$ の真偽を調べます。

$x^{2}=9$ を解くと $x=\pm 3$ となりますので、 $x=3$ が反例となります。

したがって、この命題は偽です。

以上から、 $x=-3$ は $x^{2}=9$ であるための十分条件であるが必要条件ではないということになります。

(2)の問題について

$a^{2}+b^{2}\not=0\Longrightarrow a\not=0$ かつ $b\not=0$ の真偽を調べます。

$a=1,\ b=0$ のとき、 $a^{2}+b^{2}=1\not=0$ ですが、 $b\not=0$ ではありません。

これが反例となりますので、この命題は偽です。

$a\not=0$ かつ $b\not=0\Longrightarrow a^{2}+b^{2}\not=0$ の真偽を調べます。

命題の対偶 $a^{2}+b^{2}=0\Longrightarrow a=0$ または $b=0$ を考えます。

$a^{2}+b^{2}=0$ のとき、 $a^{2}\geqq 0,\ b^{2}\geqq 0$ であるので $a=b=0$ となります。

これは $a=0$ または $b=0$ という条件を満たすので、この命題は真です。

元の命題と対偶の命題の真偽は一致しますので、元の命題も真です。

以上から、 $a^{2}+b^{2}\not=0$ であることは $a\not=0$ かつ $b\not=0$ であるための必要条件であるが十分条件ではないということになります。

(3)の問題について

$x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$ であることを考えると反例が出てきます。

$x^{2}-y^{2}\geqq 0\Longrightarrow x-y\geqq 0$ の真偽を調べます。

先ほどの式から、 $x+y\lt 0$ かつ $x-y\lt 0$ であるものが見つかれば $x^{2}-y^{2}\geqq 0$ を満たすので、これが反例になります。

例えば、 $x=-5,\ y=-1$ は $x+y=-6,\ x-y=-4,\ x^{2}-y^{2}=24$ となりますので $x^{2}-y^{2}\geqq 0$ を満たすが $x-y\geqq 0$ を満たさないものの一つとなります。

したがって、この命題は偽です。

$x-y\geqq 0\Longrightarrow x^{2}-y^{2}\geqq 0$ の真偽を調べます。

最初の式から、 $x+y\lt 0$ かつ $x-y\geqq 0$ であるものが見つかれば、 $x^{2}-y^{2}\geqq 0$ は満たしませんので、これが反例となります。

例えば、 $x=1,\ y=-2$ は $x+y=-1,\ x-y=3,\ x^{2}-y^{2}=-3$ となりますので $x-y\geqq 0$ を満たすが $x^{2}-y^{2}\geqq 0$ を満たさないものの一つとなります。

したがって、この命題は偽です。

以上から、 $x^{2}-y^{2}\geqq 0$ は $x-y\geqq 0$ であるための必要条件でも十分条件でもないということになります。

(4)の問題について

絶対値記号の性質

$|a|=\left\{ \begin{array}{cc}a&(a\geqq 0)\\ -a&(a\lt 0)\end{array}\right.$

に注意して真偽を調べていきます。

まずは $a\geqq b\Longrightarrow |a-b|=a-b$ の真偽を調べます。

$a\geqq b$ なので $a-b\geqq 0$ です。

よって、 $|a-b|=a-b$ ですので、この命題は真です。

$|a-b|=a-b\Longrightarrow a\geqq b$ の真偽を調べます。

絶対値の性質から $|a-b|=a-b$ であれば $a-b\geqq 0$ であることがわかります。

$a-b\geqq 0$ を変形すると $a\geqq b$ となりますので、この命題は真であることがわかります。

以上から、 $a\geqq b$ は $|a-b|=a-b$ であるための必要十分条件であることがわかります。

いかがだったでしょうか？

(1)と(2)の問題は過去の記事でも似たような問題がありますので、参照にしていただければと思います。

(3)と(4)に関しては少々の知識が必要ですので、その知識を使って証明または反例を探すということをしていかないといけません。

命題が真であれば証明が完了しますが、偽であれば途中で例が出てくることがあります。

後々の問題でその部分を解説していこうかと思います。

　

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