帝京平成大学の問題【2022年一般入試問題2[2]】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は帝京平成大学2022年一般入試の問題です。

今回は問題2の[2]です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

三角比で与えられた条件から三角形の形状を考えていきます。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

与えられている条件式を変形してみます。

$\begin{eqnarray*} 2\cos{A}\cos{B}&=&-\sin^{2}{A}+\sin^{2}{B}+1\\ -\sin^{2}{A}-2\cos{A}\sin{B}+1&=&0\\ \cos^{2}{A}-2\cos{A}\sin{B}+\sin^{2}{B}&=&0\\ (cos{A}-\cos{B})^{2}&=&0\end{eqnarray*}$

したがって、 $\cos{A}=\sin{B}$ が成り立ちます。公式 $\sin{[90^{\circ }-\theta )}=\cos{\theta }$ と $\sin{(90^{\circ }+\theta )}=\cos{\theta }$ に当てはめて考えると $B=90^{\circ }-A$ または $B=90^{\circ }+A$ という条件が出てきます。前者は $B$ が鋭角のとき、後者は $B$ が鈍角のときです。

$B$ が鋭角のとき、先ほどの条件から $A+B=90^{\circ }$ ですので、三角形の内角の和が $180^{\circ }$ であることより $C=90^{\circ }$ となります。

$B$ が鈍角のときは $B=90^{\circ }+A$ となります。このとき $C=90^{\circ }-2A$ となります。頂点 $A$ から直線 $BC$ に垂線を下ろし、その足を $H$ とすると、 $\triangle ACH$ は $\angle CHA=90^{\circ }$ の直角三角形になりますので、 $\angle CAH=90^{\circ }-C$ となります。この角度を $A$ を用いて表すと、先ほどの $C$ を $A$ で表したものを代入して $\angle CAH=2A$ となります。