愛知工科大学の過去問【2023年工学部一般入試】

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今回の問題

2023年愛知工科大学工学部の一般入試で出題された問題です。

2024年度の入試問題は公開されたら解いていこうと思います。

問題の難易度について

難易度は☆☆☆です。

2022年までと同じく第1問が記述式の問題、その他はマーク式の問題です。そこまで難しい問題は無いです。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第1問）

第1問

第1問の解説

円 $x^{2}+y^{2}-4x-6y+12=0$ の式を変形すると

$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$

となります。これにより、中心が $(2,3)$ 、半径が $1$ の円であることがわかります。

直線 $y=mx+2$ とこの円との交点を仮に $P,\ Q$ とおきます。

$PQ=\sqrt{2}$ のとき、円の中心から直線 $PQ$ に下した垂線の長さを $d$ とすると、三平方の定理より

$\begin{eqnarray*} d^{2}&=&1^{2}-\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) ^{2}\\ &=&\frac{1}{2}\end{eqnarray*}$

ですので $\displaystyle d=\frac{1}{\sqrt{2}}$ となります。また、点と直線の距離の公式を用いると

$\displaystyle d=\frac{|2m-3+2|}{\sqrt{m^{2}+1}}$

となりますので

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{|2m-1|}{\sqrt{m^{2}+1}}$

が成り立ちます。この方程式を解くと

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}}&=&\frac{|2m-1|}{\sqrt{m^{2}+1}}\\ \sqrt{m^{2}+1}&=&\sqrt{2}|2m-1|\\ m^{2}+1&=&2(2m-1)^{2}\\ m^{2}+1&=&8m^{2}-8m+2\\ 7m^{2}-8m+1&=&0\\ (7m-1)(m-1)&=&0\end{eqnarray*}$

となりますので、求めるべき $m$ の値は $\displaystyle m=\frac{1}{7},\ 1$ となります。

問題と問題の解説（第2問）

第2問

第2問の解説

$t=\sin{\theta }+\cos{\theta }$ とおくと

$t^{2}=1+2\sin{2\theta }$

となりますので、 $\sin{2\theta }$ を $t$ で表すと $\sin{2\theta }=t^{2}-1$ となります。

したがって、初めの方程式は $t$ で表すと（ $t$ の降べきの順に整理して）

$2t^{2}+2\sqrt{6}t-9=0$ …①

となります。

$t$ のおき方から

$\begin{eqnarray*} t&=&\sin{\theta }+\cos{\theta }\\ &=&\sqrt{2}\sin{\left( \theta +\frac{\pi }{4}\right) }\end{eqnarray*}$

と変形できます。したがって、 $t$ のとりうる値の範囲は $0\leqq \theta \leqq \pi$ より

$-1\leqq t\leqq \sqrt{2}$

となります。よって、 $t$ の2次方程式①を解の公式を用いて解くと、 $t$ のとりうる値の範囲に注意すると

$\displaystyle t=\frac{\sqrt{6}}{2}$

となます。したがって

$\displaystyle \sin{\left( \theta +\frac{\pi }{4}\right) }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

となりますので、これを満たす $\theta$ の値は $\displaystyle \theta =\frac{\pi }{12},\ \frac{5\pi }{12}$ となります。

問題と問題の解説（第3問）

第3問

第3問の解説

点 $D$ は辺 $BC$ を $2:1$ に内分する点ですので

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AD}&=&\frac{\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}}{2+1}\\ &=&\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC})\end{eqnarray*}$

となります。また、 $\triangle ABC$ は一辺の長さが $1$ の正三角形なので

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}&=&|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos{\angle BAC}\\ &=&1\times 1\times \frac{1}{2}\\ &=&\frac{1}{2}\end{eqnarray*}$

となります。これらを用いると

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}&=&\frac{1}{3}|\overrightarrow{AB}|^{2}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\\ &=&\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\\ &=&\frac{2}{3}\\ |\overrightarrow{AD}|^{2}&=&\frac{1}{9}|\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}|^{2}\\ &=&\frac{1}{9}|\overrightarrow{AB}|^{2}+\frac{4}{9}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+\frac{4}{9}|\overrightarrow{AC}|^{2}\\ &=&\frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{4}{9}\\ &=&\frac{7}{9}\end{eqnarray*}$

したがって、 $\displaystyle |\overrightarrow{AD}|=\frac{\sqrt{7}}{3}$ となります。

また、 $\cos{\angle BAD}$ の値は

$\begin{eqnarray*} \cos{\angle BAD}&=&\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|}\\ &=&\frac{\frac{2}{3}}{1\times \frac{\sqrt{7}}{3}}\\ &=&\frac{2}{\sqrt{7}}\end{eqnarray*}$

となります。

最後の問題については

$\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{AD}+t\overrightarrow{AB}|^{2}&=&t^{2}+\frac{4}{3}t+\frac{7}{9}\\ &=&\left( t+\frac{2}{3}\right) ^{2}+\frac{1}{3}\end{eqnarray*}$

となりますので、 $t$ が実数全体を動くとき、 $|\overrightarrow{AD}+t\overrightarrow{AB}|$ は $\displaystyle t=-\frac{2}{3}$ のとき最小値 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$ をとります。

問題と問題の解説（第4問）

第4問

第4問の解説

与えられている関数は次のように変形できます。

$\displaystyle y=2x+1+\frac{2}{x-2}$

よって、曲線 $C$ の漸近線は直線 $x=2$ と直線 $y=2x+1$ です。

また、与えられている関数の導関数は

$\displaystyle y^{\prime }=\frac{2(x-1)(x-3)}{(x-2)^{2}}$

となります。これにより、曲線 $C$ の原点における接線の方程式は $\displaystyle y=\frac{3}{2}x$ であることがわかります。

また、この関数は $x=1$ のとき極大値 $1$ 、 $x=3$ のとき極小値 $9$ をとることもわかります。

曲線 $C$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標は

$\displaystyle \frac{2x^{2}-3x}{x-2}=\frac{x(2x-3)}{x-2}$

より、 $x=0$ と $\displaystyle x=\frac{3}{2}$ です。したがって、曲線 $C$ と $x$ 軸とで囲まれる部分の面積は

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{3}{2}}\frac{2x^{2}-3x}{x-2}dx&=&\int_{0}^{\frac{3}{2}}\left( 2x+1+\frac{2}{x-2}\right) dx\\ &=&\left[ x^{2}+x+2\log{|x-2|}\right] _{0}^{\frac{3}{2}}\\ &=&\frac{9}{4}+\frac{3}{2}+2\log{\frac{1}{2}}-2\log{2}\\ &=&\frac{15}{4}-4\log{2}\end{eqnarray*}$

となります。

問題と問題の解説（第5問）

第5問

第5問の解説

(1) $0$ を含む数字の組み合わせは

$(0,1,2,3),\ (0,1,2,4),\ (0,1,3,4),\ (0,2,3,4)$

の $4$ 通りあり、この $4$ つの数字で4桁の整数は

$3\times 3\times 2\times 1=18$ 通り

できます。

$(1,2,3,4)$ の組み合わせでできる4桁の整数は $4!=24$ 通りできますので、作ることができる4桁の整数は

$18\times 4+24=96$ 通り

あります。

(2)偶数は

・□□□ $0$

・□□□ $2$

・□□□ $4$

のパターンが考えられます。

□□□ $0$ のパターンは□に $1,\ 2,\ 3,\ 4$ の4つの数字の中から3つ選んで、その選んだ数を並べればいいので $3!\times 4=24$ 通りの4桁の数が作られます。

□□□ $2$ のパターンは□に $0,\ 1,\ 3,\ 4$ の4つの数字の中から3つ選んで、その数字を並べればいいのですが、 $0$ を含む場合は一番左に $0$ が来る場合を除かなければいけません。このとき、できる4桁の整数は $18$ 通りあります。

□□□ $4$ のパターンも同じように $18$ 通りあります。

よって、偶数は $24+18+18=60$ 個あります。

(3)各桁の数字の和が $10$ となる組み合わせは $(1,2,3,4)$ のみです。

各桁の数字の和が $10$ となる奇数は

・□□□ $1$

・□□□ $3$

のパターンがありますが、それぞれ $3!=6$ 通りありますので、各桁の数字の和が $10$ である奇数の4桁の数は $6+6=12$ 個あります。

(4) $3$ の倍数は、各桁の数字の和が $3$ で割り切れます。

そのような数の組み合わせは $(0,1,2,3)$ と $(0,2,3,4)$ があります。

したがって、3の倍数となる4桁の数は $18+18=36$ 個あります。

(5)次のパターンの個数を数えていきます。

・ $1$ □□□→ $4\times 3\times 2=24$ 個

・ $2$ □□□→ $24$ 個

・ $30$ □□→ $3\times 2=6$ 個

・ $31$ □□→ $6$ 個

・ $320$ □→ $2$ 個

この次が $3210$ となりますので、この数は

$24+24+6+6+2+1=63$ 番目に小さい数となります。

(6)次のパターンの4桁の数の個数を数えます。

・ $2$ □□□→ $24$ 個

・ $3$ □□□→ $24$ 個

したがって、 $2000$ 以上 $4000$ 以下の範囲に入る整数は $24+24=48$ 個あります。

問題と問題の解説（第6問）

第6問

第6問の解説

関数 $y=x^{3}-6x^{2}+9x-3$ の導関数は

$\begin{eqnarray*} y^{\prime }&=&3x^{2}-12x+9\\ &=&3(x-1)(x-3)\end{eqnarray*}$

となりますので、 $y$ の増減は次のようになります。

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c}\hline x&\cdots &1&\cdots &3&\cdots \\ \hline y^{\prime }&+&0&-&0&+\\ \hline y&\nearrow &1&\searrow &-3&\nearrow \\ \hline \end{array}$

したがって、 $y$ は $x=1$ のとき極大値 $1$ 、 $x=3$ のとき極小値 $-3$ をとることがわかります。

$x=t$ における曲線 $C$ における接線の方程式は

$y=(3t^{2}-12t+9)x-2t^{3}+6t-3$

となります。この直線が点 $(0,5)$ を通るとき

$5=-2t^{3}+6t-3$

が成り立ちます。この方程式を解くと

$\begin{eqnarray*} 2t^{3}-6t+8&=&0\\ t^{3}-3t+4&=&0\\ (t+1)(t-2)^{2}&=&0\end{eqnarray*}$

となりますので、 $t=-1,\ 2$ となります。

したがって、求める接点は $(-1, -19),\ (2,-1)$ となります。

この2点を通る直線の方程式は $y=6x-13$ です。これを直線 $l$ とします。

曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれる部分の面積は

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{2}(x^{3}-6x^{2}+9x-3-6x+13)dx&=&\int_{-1}^{2}(x^{3}-6x^{2}+3x+10)dx\\ &=&\left[ \frac{1}{4}x^{4}-2x^{3}+\frac{9}{2}x^{2}+10x\right] _{-1}^{2}\\ &=&\frac{81}{4}\end{eqnarray*}$