マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

必要条件・十分条件の問題【中村学園大学2023年一般入試】

入試問題必要条件・十分条件

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？

今回の問題

(1) $x,\ y$ を実数とする。

$(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}$ であることは $x=y=0$ であるための（　）

(2) $\triangle ABC$ において、外接円の半径を $R$ とする。

$\angle BAC=60^{\circ }$ であることは、 $BC=\sqrt{3}R$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

中村学園大学2023年の一般入試で出題された問題です。

(1)の問題は前回出てきたものと似た問題です。

今回の問題の解説

(1)の問題について

$(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}$ を変形すると

$\begin{eqnarray*} (x+y)^{2}&=&x^{2}+y^{2}\\ x^{2}+2xy+y^{2}&=&x^{2}+y^{2}\\ 2xy&=&0\\ xy&=&0\end{eqnarray*}$

となりますので、 $(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}$ と $xy=0$ は同値な条件です。

ということは、次の2つの命題の真偽を見れば良いことになります。

① $xy=0\Longrightarrow x=y=0$

② $x=y=0\Longrightarrow xy=0$

命題①は $x=1,\ y=0$ とすると $xy=0$ を満たしていますが、 $x=y=0$ を満たしていません。

これが反例となっていますので、命題①は偽の命題となります。

命題②は明らかに真の命題です。

以上から、 $(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}$ であることは $x=y=0$ であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

(2)の問題について

この問題は次の2つの命題の真偽を見ることになります。

③ $\angle BAC=60^{\circ }\Longrightarrow BC=\sqrt{3}R$

④ $BC=\sqrt{3}R\Longrightarrow \angle BAC=60^{\circ }$

命題③について考えてみます。 $\triangle ABC$ に正弦定理を用いると

$\displaystyle \frac{BC}{\sin{\angle BAC}}=2R$ …（※）

が成り立ちます。 $\displaystyle \sin{60^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ であることより、この式を変形すると

$BC=\sqrt{3}R$

が成り立ちますので、この命題は真の命題となります。

命題④について考えてみます。 $\triangle ABC$ に正弦定理を用いると（※）の式が成り立ちます。

$BC=\sqrt{3}R$ であることより、（※）の式を変形すると

$\displaystyle \sin{\angle BAC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

が得られます。この三角方程式を解くと $\angle BAC=60^{\circ },\ 120^{\circ }$ が得られます。

したがって、 $\angle BAC=120^{\circ }$ である $\triangle ABC$ が反例になりますので、この命題は偽の命題であることがわかります。

以上から、 $\angle BAC=60^{\circ }$ であることは $BC=\sqrt{3}R$ であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

いかがだったでしょうか？

(1)の問題は前回も同じようなものが出てきました。

もしかすると、この大学の問題は過去の問題の類題が出るのかもしれませんね。

(2)の問題はうまく正弦定理を使うと解くことができます。

何を仮定しているかをはっきりさせてから考えると良いです。

　

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