八戸工業大学の過去問【2020年一般入試】

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今回の問題

八戸工業大学の2020年一般入試の問題です。

この年の問題もマーク方式にして紹介しました。↓

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題の難易度について

難易度は☆☆☆です。

昨年よりかは計算量は減りましたが、それでも注意深く計算をしないとミスを誘発してしまいます。解く方針を立てるのは基礎的な知識で充分です。問題文にも要注意です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第1問）

第1問

第1問の解説

問1

$15x^{2}-23x-22=(5x-11)(3x+2)$ ですので、不等式は

$(5x-11)(3x+2)\gt 0$

と変形できます。この不等式の解は $\displaystyle x\lt -\frac{2}{3},\ \frac{11}{5}\lt x$ ですが、 $x\gt 0$ が問題で要請されていますので $\displaystyle x\gt \frac{11}{5}$ が答えになります。

問2

$x$ の2次方程式 $\displaystyle \frac{1}{3}x^{2}+kx+x+\frac{4}{3}=0$ を整理すると

$\displaystyle x^{2}+(3k+3)x+4=0$

となります。この方程式の判別式を $D$ とすると

$\begin{eqnarray*} D&=&(3k+3)^{2}-4\times 1\times 4\\ &=&9k^{2}+18k+9-16\\ &=&9k^{2}+18k-7\\ &=&(3k-1)(3k+7)\end{eqnarray*}$

となります。放物線 $\displaystyle y=\frac{1}{3}x^{2}+kx+x+\frac{4}{3}$ が $x$ 軸に接するとき $D=0$ が条件となりますので、このような $k$ の値は $\displaystyle k=-\frac{7}{3}$ と $\displaystyle k=\frac{1}{3}$ ですが、 $k\lt 0$ が問題文で要請されていますので $\displaystyle k=-\frac{7}{3}$ が答となります。

問3

与えられている2次関数を式変形（平方完成）すると

$\begin{eqnarray*} y&=&-\frac{5}{2}x^{2}+15x-\frac{19}{2}\\ &=&-\frac{5}{2}(x-3)^{2}+\frac{45}{2}-\frac{19}{2}\\ &=&-\frac{5}{2}(x-3)^{2}+13\end{eqnarray*}$

となりますので、この関数は $x=3$ のとき最大値 $13$ をとります。

問4

求める2次関数を $y=ax^{2}+bx+c$ とおくと、点 $A(4,-19)$ を通るので

$16a+4b+c=-19$ …①

点 $B(-3,-26)$ を通るので

$9a-3b+c=-26$ …②

点 $C(6,-53)$ を通るので

$36a+6b+c=-53$ …③

を満たします。①、②、③より、連立方程式

$\left\{ \begin{array}{ccc} 16a+4b+c&=&-19\\ 9a-3b+c&=&-26\\ 36a+6b+c&=&-53\end{array}\right.$

を解くことになりますが、この連立方程式の解は $(a,b,c)=(-2,3,1)$ となりますので、求める2次関数は $y=-2x+3x+1$ となります。

問題と問題の解説（第2問）

第2問

第2問の解説

問1

三角比の相互関係 $\displaystyle 1+\tan^{2}{\theta }=\frac{1}{\cos^{2}{\theta }}$ より

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\cos^{2}{\theta }}&=&1+\left( -\frac{12}{5}\right) ^{2}\\ &=&1+\frac{144}{25}\\ &=&\frac{169}{25}\end{eqnarray*}$

となりますので、 $\displaystyle \cos^{2}{\theta }=\frac{25}{169}$ となります。三角比の相互関係 $\sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }=1$ より

$\begin{eqnarray*} \sin^{2}{\theta }&=&1-\frac{25}{169}\\ &=&\frac{144}{169}\end{eqnarray*}$

となります。 $90^{\circ }\lt \theta \lt 180^{\circ }$ より $\sin{\theta }\gt 0$ ですので $\displaystyle \sin{\theta }=\frac{12}{13}$ となります。

問2

与えられている条件式の両辺を2乗し、三角比の相互関係を用いて $\sin{\theta }\cos{\theta }$ の値を求めると

$\begin{eqnarray*} (\sin{\theta }+\cos{\theta })^{2}&=&\frac{4}{9}\\ \sin^{2}{\theta }+2\sin{\theta }\cos{\theta }+\cos^{2}{\theta }&=&\frac{4}{9}\\ 1+2\sin{\theta }\cos{\theta }&=&\frac{4}{9}\\ 2\sin{\theta }\cos{\theta }&=&-\frac{5}{9}\\ \sin{\theta }\cos{\theta }&=&-\frac{5}{18}\end{eqnarray*}$

問3

三角形の内角の和が $180^{\circ }$ であることより $\angle C=120^{\circ }$ となります。 $\triangle ABC$ に正弦定理を用いると

$\displaystyle \frac{AB}{\sin{C}}=\frac{BC}{\sin{A}}$

が成り立ちます。ここから $AB$ の長さを求めると、 $\displaystyle \sin{C}=\frac{\sqrt{3}}{2},\ \sin{A}=\frac{1}{\sqrt{2}},\ BC=6$ であるので

$\displaystyle AB=6\times \sqrt{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{6}$

問4

三角形の3辺の長さが与えられているので、 $\triangle ABC$ に余弦定理を用いると

$\begin{eqnarray*} \cos{A}&=&\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\times AB\times AC}\\ &=&\frac{8+5-11}{2\times 2\sqrt{2}\times \sqrt{5}}\\ &=&\frac{2}{4\sqrt{10}}\\ &=&\frac{\sqrt{10}}{20}\end{eqnarray*}$

問題と問題の解説（第3問）

第3問

第3問の解説

問1

分子と分母をそれぞれ展開します。

$\begin{eqnarray*} (-1+i)(4+3i)&=&-4-3i+4i+3i^{2}\\ &=&-7+i\\ (2+i)(-1+3i)&=&-2+6i-i+3i^{2}\\ &=&-5+5i\end{eqnarray*}$

よって、与えられた複素数は $\displaystyle \frac{-7+i}{-5+5i}$ と変形できます。この複素数の分母を実数化して整理すると

$\begin{eqnarray*} \frac{-7+i}{-5+5i}&=&\frac{(-7+i)(-5-5i)}{(-5)^{2}+5^{2}}\\ &=&\frac{(7-i)(5+5i)}{50}\\ &=&\frac{35+35i-5i-5i^{2}}{50}\\ &=&\frac{40+30i}{50}\\ &=&\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i\end{eqnarray*}$