必要条件・十分条件の問題【2023年国立病院機構中国・四国付属看護学校A日程】

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

今回の問題

(1)自然数 $m,\ n$ に関して、 $m+n,\ mn$ がともに偶数であることは $m,\ n$ がともに偶数であるための（　）

(2) $0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ のとき、 $\sin{\theta }\gt \cos{\theta }$ であることは、 $45^{\circ }\leqq \theta \leqq 135^{\circ }$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

今回は令和5年国立病院機構中国・四国付属看護学校の問題からです。

しっかりやるのであれば証明や不等式を解くといったようなことをする必要があるので、時間がかかる問題です。

直感的に答えられそうな問題ですが少し危険です。

今回の問題の解説

(1)の問題について

命題「 $m+n,\ mn$ がともに偶数 $\Longrightarrow m,\ n$ がともに偶数」の真偽を調べます。

$m+n$ が偶数なので、 $m$ と $n$ はともに奇数か、ともに偶数となります。また、 $mn$ が偶数なので、 $m$ と $n$ のうち少なくとも一方が偶数になります。この両者を合わせると $m,\ n$ はともに偶数となりますので、この命題は真となります。

命題「 $m,\ n$ がともに偶数 $\Longrightarrow m+n,\ mn$ がともに偶数」の真偽を調べます。

$m=2k,\ n=2l$ （ $k,\ l$ を自然数とします）とおくと

$m+n=2k+2l=2(k+l)$

$mn=4kl=2(2kl)$

となりますので、 $m+n$ と $mn$ はともに偶数となります。

よって、この命題は真です。

以上から、 $m+n$ と $mn$ がともに偶数であることは $m,\ n$ がともに偶数であるための「必要十分条件」となります。

(2)の問題について

不等式 $\sin{\theta }\gt \cos{\theta }$ を解くと

$\begin{eqnarray*} \sin{\theta }-\cos{\theta }&\gt &0\\ \sqrt{2}\sin{(\theta -45^{\circ })}&\gt &0\end{eqnarray*}$

$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ より $-45^{\circ }\leqq \theta -45^{\circ }\leqq 135^{\circ }$ となりますので、この範囲内で不等式を満たす $\theta$ の値の範囲を求めると $45^{\circ }\lt \theta \leqq 180^{\circ }$ となります。ここで、集合 $P,\ Q$ をそれぞれ