マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

必要条件・十分条件の問題【2022年都立看護専門学校】

入試問題必要条件・十分条件

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？

今回の問題

$x,\y$ は実数とする。

(1) $x+y$ が奇数であることは $xy$ が偶数であるための（　）

(2) $x^{2}\lt y^{2}$ であることは $x\lt y$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

令和4年度の都立看護専門学校の問題からです。

編集の都合上、細かい文言は変えています。

命題を組み立てて真偽を調べる方法で解くとやりやすいです。

今回の問題の解説

(1)の問題について

命題 $x+y$ が奇数 $\Longrightarrow xy$ は偶数の真偽を調べます。

$x+y$ が奇数であれば、 $x$ と $y$ のうち一方が偶数、他方が奇数になります。

したがって、 $xy$ は2の倍数になりますので偶数となります。

よって、この命題は真です。

命題 $xy$ が偶数 $\Longrightarrow xy$ が奇数の真偽を調べます。

$x=2,\ y=2$ のとき、 $xy=4$ で偶数ですが、 $x+y=4$ も偶数です。

これは仮定を満たして結論を満たさないものとなりますので、反例となります。

よって、この命題は偽となります。

以上から、 $x+y$ が奇数であることは $xy$ が偶数であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

(2)の問題について

命題 $x^{2}\lt y^{2}\Longrightarrow x\lt y$ の真偽を調べます。

$x=1,\ y=-2$ は $x^{2}=1,\ y^{2}=4$ ですので $x^{2}\lt y^{2}$ を満たしますが、 $x\lt y$ は満たしていません。

これが反例となりますので、この命題は偽となります。

命題 $x\lt y\Longrightarrow x^{2}\lt y^{2}$ の真偽を調べます。

$x=-2,\ y=1$ は $x\lt y$ を満たしていますが、 $x^{2}=4,\ y^{2}=1$ ですので $x^{2}\lt y^{2}$ は満たしていません。

これが反例となりますので、この命題は偽です。

以上から、 $x^{2}\lt y^{2}$ であることは $x\lt y$ であるための「必要条件でも十分条件でもない」となります。

いかがだったでしょうか？

今回の問題の後半は頻出問題です。

当ブログでも一度取り上げた問題です。

必要条件と十分条件の判定問題は命題を組み立てて、その命題の真偽を調べることが基本になります。

真なら証明が可能で、偽なら反例が1つ見つかるはずです。反例は難しいものでなくても大丈夫です。（試験の点数には影響しません）

試験本番では証明や反例を示す必要がありませんので、自分でわかった時点で答えるのが良いかと思います。

　

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