マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

必要条件・十分条件の問題【2023年東京純心大学】

入試問題必要条件・十分条件

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？

今回の問題

(1) $\angle A=\angle B$ であることは、 $\triangle ABC$ が二等辺三角形であるための（　）

(2) $a,\ b$ が実数であるとき、 $|a|+|b|\gt 2$ であることは $|a+b|\gt 2$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

今回は令和5年の東京純心大学の問題からです。

命題を立てて、注意深く反例を探さないと点数を落としてしまうような問題です。

今回の問題の解説

(1)の問題について

二等辺三角形の定義は「三角形の3辺のうち2辺の長さが等しい三角形」です。「三角形の3つの角のうち2つの角が等しい三角形」であることはこの定義を用いて出てくる定理です。この定理を用いると、「 $\angle A=\angle B\Longrightarrow \triangle ABC$ は二等辺三角形」という命題は正しいので真の命題となります。

一方、命題 $\triangle ABC$ が二等辺三角形 $\Longrightarrow \angle A=\angle B$ 」という命題は $\angle A=120^{\circ },\ \angle B=\angle C=30^{\circ }$ の $\triangle ABC$ は二等辺三角形ですが、結論の $\angle A=\angle B$ を満たしていませんので、これが反例となります。よって、この命題は偽となります。

以上から、 $\angle A=\angle B$ であることは $\triangle ABC$ が二等辺三角形であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

(2)の問題について

三角不等式 $|a|+|b|\geqq |a+b|$ を用いて考えるとすぐに分かるだろうと思います。

命題 $|a|+|b|\gt 2\Longrightarrow |a+b|\gt 2$ の真偽については $a=2,\ b=-1$ のとき $|a|+|b|=3\gt 2$ で仮定を満たしますが $|a+b|=1\lt 2$ で結論を満たしていません。よって、この命題は偽となります。

一方、 $|a+b|\gt 2\Longrightarrow |a|+|b|\gt 2$ という命題は、先程の三角不等式を用いると

$|a|+|b|\geqq |a+b|\gt 2$

が成り立ちますので、この命題は真ということがわかります。

以上から、 $|a|+|b|\gt 2$ であることは $|a+b|\gt 2$ であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

いかがだったでしょうか？

今回は2問とも命題に関わる定理を使って真偽を調べました。

定理とは「証明される事柄のうち重要なもの」ですので、厳密には証明が必要です。

ですが、ほとんどの定理は共通認識のように扱われていますので、一般的な高校入試では中学で習った範囲内の定理、大学入試では高校で習う最大限の範囲の定理は証明なしで使うことが許されるかと思います。

マーク方式の試験や短答式の問題は答だけ書けば良いので「この定理は使っても良いのか？」という心配は要らなさそうですね。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

X(Twitter)で更新を報告しています！フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper