マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2005年前期日程第1問】

図形と方程式入試問題

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今週は首都大学東京2005年・2006年の問題です。

今回は2005年文系学部前期日程第1問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

平面座標から2つの三角形の相似を示す問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

3点 $A(a_{1},a_{2}),\ B(b_{1},b_{2}),\ C(c_{1},c_{2})$ を頂点とする三角形の重心 $G$ の座標は

$\displaystyle G\left( \frac{a_{1}+b_{1}+c_{1}}{3},\frac{a_{2}+b_{2}+c_{2}}{3}\right)$

となります。

点 $G$ の座標を $(g_{1},g_{2})$ とおくと、点 $D$ の座標は線分 $AG$ を $5:3$ に外分する点ですので

$\displaystyle \left( \frac{-3a_{1}+5g_{1}}{5-3},\frac{-3a_{2}+5g_{2}}{5-3}\right) =\left( \frac{-4a_{1}+5b_{1}+c_{1}}{6},\frac{-4a_{2}+5b_{2}+5c_{2}}{6}\right)$

となります。同様に

$\displaystyle E\left( \frac{5a_{1}-4b_{1}+5c_{1}}{6},\frac{5a_{2}-4b_{2}+5c_{2}}{6}\right)$

$\displaystyle F\left( \frac{5a_{1}+5b_{1}-4c_{1}}{6},\frac{5a_{2}+5b_{2}-4c_{2}}{6}\right)$

となります。

$A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F$ の座標からそれぞれ $AB,\ BC,\ CA,\ DE,\ EF,\ FD$ の長さを求めると

$AB^{2}=(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}$

$BC^{2}=(c_{1}-b_{1})^{2}+(c_{2}-b_{2})^{2}$

$CA^{2}=(a_{1}-c_{1})^{2}+(a_{2}-c_{2})^{2}$

$\displaystyle DE^{2}=\frac{9}{4}\left\{ (b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}\right\}$

$\displaystyle EF^{2}=\frac{9}{4}\left\{ (c_{1}-b_{1})^{2}+(c_{2}-b_{2})^{2}\right\}$

$\displaystyle FD^{2}=\frac{9}{4}\left\{ (a_{1}-c_{1})^{2}+(a_{2}-c_{2})^{2}\right\}$

となりますので $AB:DE=BC:EF=CA:FD=2:3$ であることがわかります。

したがって、 $\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ は3組の辺の比がそれぞれ等しいので相似になります。

いかがだったでしょうか？

さすがは国公立大学の問題と言った感じです。

証明問題や文字式を含んだ計算が多くみられます。

今回の問題も文字式を含む計算を進めていかなければいけませんので、国公立大学を受ける方はこのような計算に慣れていく必要がありそうです。

　

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