マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2005年前期日程第2問】

指数関数と対数関数入試問題

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今週は首都大学東京2005年・2006年の問題です。

今回は2005年文系学部前期日程第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

条件を満たす定数が絡む指数方程式の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

条件式と対数関数の底の変換公式から $\displaystyle \frac{\log_{2}{a}}{2m-1}=\log_{2}{b}$ が成り立ちます。

この式を変形すると $a=b^{2m-1}$ …①となります。

この条件下で $x$ の方程式 $a^{x}(a^{x}+b^{m})=b^{m-1}a^{x}+a$ を解きます。

$a^{x}=t$ と置き換えて、方程式を変形すると

$t^{2}+(b^{m}-b^{m-1})t-b^{2m-1}=0$

$(t+b^{m})(t-b^{m-1})=0$

となりますが、条件 $a\gt 0,\ b\gt 1$ かつ $m$ が自然数であることから $t\gt 0$ です。

したがって、方程式の解は $t=b^{m-1}$ となります。

置き換えたものを元に戻して、条件①を用いると $\displaystyle x=\frac{m-1}{2m-1}$ であることが導かれます。

いかがだったでしょうか？

文字式が多くて計算が大変で見た目もわかりにくいかもしれませんが、指数関数と対数関数の基礎さえおさえられていれば難なく解くことができます。

底の変換公式 $\displaystyle \log_{a}{b}=\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}$ や対数関数の定義 $a^{x}=P\Leftrightarrow \log_{a}{P}=x$ をしっかりと理解しておくことが大切です。

指数関数や対数関数の問題はあまり見られない問題ですが、出ないとは限りませんのでマークすることを忘れないようにしておきたい分野です。

入試問題が載っているホームページから探すのは大変かもしれませんので、入試問題集などで問題を解いていくほうが良いかもしれません。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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