共通テスト前の確認数学Ⅱ＋B編【指数関数・対数関数】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は共通テスト前の確認数学Ⅱ＋Ｂ編です。

今回は指数関数・対数関数の問題です。

今回の問題の原文

1.関数 $y=4^{x}+4^{-x}-3\cdot 2^{x}-3\cdot 2^{x}$ の最小値を求めよ。

2.関数 $\displaystyle y=\{ \log_{2}{(2-x-x^{2})\} ^{2}-2\log_{2}{(2-x-x^{2})}+\frac{1}{2}$ の最小値を求めよ。

3. $2^{100}$ の桁数を求めよ。また、 $2^{-100}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて $0$ でない数が現れるかを求めよ。ただし $\log_{10}{2}=0.3010$ とする。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

指数関数と対数関数の最大・最小問題と桁数を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

指数関数については

$0\lt a\lt 1,\ 1\lt a$ のとき $a\gt 0$

が成り立っています。注意が必要なのは、指数関数の値が0より大きいことと、大小関係を比べるときは底が1より大きいか小さいかを確認することです。

(1) $t=2^{x}+2^{-x}$ とおくと、 $2^{x}\gt 0$ かつ $2^{-x}$ が成り立っていますので、相加平均と相乗平均の関係より $t$ のとりうる値の範囲は $t\geqq 2$ となります。

また、 $t^{2}=4^{x}+4^{-x}+2$ ですので、 $y$ を $t$ を用いて表すと

$y=t^{2}-3t-2$

となります。これは $t$ の2次関数ですので、平方完成をして $\displaystyle y=(t-\frac{3}{2})^{2}-\frac{17}{4}$ と変形しておきます。そうすると、 $y$ は $t=2$ のとき最小値 $-4$ をとることがわかります。

対数関数では $0\lt a\lt 1,\ 1\lt a$ のとき

$\begin{eqnarray*} \log_{a}{PQ}&=&\log_{a}{P}+\log_{a}{Q}\\ \log_{a}{\frac{P}{Q}}&=&\log_{a}{P}-\log_{a}{Q}\\ \log_{a}{P^{n}}&=&n\log_{a}{P}$

が成り立つことと、真数条件に注意します。

(2) $\log_{2}{(2-x-x^{2})}$ の真数は $2-x-x^{2}$ です。真数条件はこの値が必ず正であることですので $2-x-x^{2}\gt 0$ が真数条件です。この2次不等式を解くと $-2\lt x\lt 1$ となります。

$\log_{2}{(2-x-x^{2})}$ とおくと、 $\displaystyle 2-x-x^{2}=-\left( x+\frac{1}{2}\right) ^{2}+\frac{9}{4}$ となりますので、 $t$ のとりうる値の範囲は $\displaystyle t\leqq 2\log_{2}{3}-2$ となります。また、 $y$ を $t$ で表すと

$\displaystyle \begin{eqnarray*}y&=&t^{2}-2t+\frac{1}{2}\\ &=&(t-1)^{2}-\frac{1}{2}\end{eqnarray*}$

となりますので、 $y$ は $t=1$ すなわち $2-x-x^{2}=0\ (x=0,\ 1)$ のとき最小値 $\displaystyle -/frac{1}{2}$ をとります。

(3)桁数と小数で表したときに初めて $0$ 以外の数が出てくるのが小数第何位かを求める問題は常用対数を使います。

たとえば、 $\log_{10}{2}=0.3010$ で計算をすると $\log_{10}{2^{100}}=30.10$ となりますが、これは $2^{100}=10^{30.10}=10^{30}\times 10^{0.1}$ となり、桁数が $31$ 桁であることがわかります。小数の方も同じように $\log_{10}{2^{-100}}$ を計算して値を出して考えます。 $\log_{10}{2^{-100}}=-30.10$ ですので、 $2^{-100}$ を小数で表したとき初めて $0$ 以外の数が現れるのは小数第 $31$ 位となります。指数の絶対値 $+1$ の数を答えると覚えれば良さそうですね。