マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京都立大学の問題【2022年前期日程第1問】

指数関数と対数関数入試問題

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今週は東京都立大学2021年・2022年の問題です。

今回は2022年文系学部前期日程第1問です。

今回の問題の原文

(1) $\displaystyle \frac{1}{6}\log_{a}{(2a)}+\log_{a}{\sqrt[3]{7}}-\frac{1}{2}\log_{a}{\sqrt[3]{98}}$ の値を求めなさい。

(2)不等式 $a^{2x-1}+a\leqq a^{x-1}+a^{x+3}$ をみたす整数 $x$ をすべて求めなさい。

(3)不等式 $3\log_{a^{3}}{(2x+4)}\leqq 2\log_{a}{(4-x)}-\log_{a}{4}$ をみたす整数 $x$ をすべて求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

指数関数に関する方程式と不等式の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)計算により求めることができます。

$\displaystyle \frac{1}{6}\log_{a}{(2a)}+\log_{a}{\sqrt[3]{7}}-\log_{a}{\sqrt[3]{98}}$

$\displaystyle =\frac{1}{6}\log_{a}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}\log_{a}{7}-\frac{1}{6}(2\log_{a}{7}+\log_{a}{2})=\frac{1}{6}$

(2)不等式を解くと

$\displaystyle (a^{x}-a^{2})(a^{x}-\frac{1}{a^{2}})\leqq 0$

より $a^{2}\leqq a^{x}\leqq a^{-2}$ ですので、 $-2\leqq x\leqq 2$ となります。

これを満たす整数 $x$ は $-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2$ となります。

(3)真数条件により $2x+4\gt 0$ かつ $4-x\gt 0$ すなわち $-2\lt x\lt 4$ であることに注意します。

対数関数の底は $a\ (0\lt a\lt 1)$ で $1$ より小さいので、不等式の解は $0\leqq x\leqq 16$ となります。

真数条件と合わせると $0\leqq x\lt 4$ となります。

この条件を満たす整数は $0,\ 1,\ 2,\ 3$ になります。

いかがだったでしょうか？

指数関数と対数関数の基本性質をおさえていれば解ける問題でした。

特に対数関数の不等式は底が1より大きいか小さいかで不等号の向きが変わりますので注意が必要です。

真数条件も忘れないようにしておきたいですね。

　

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