マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

共通テスト前の確認数学Ⅱ＋B編【微分・積分】

微分積分大学入試対策

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今週は共通テスト前の確認数学Ⅱ＋B編です。

今回は微分積分です。

今回の問題の原文

1.放物線 $y=x^{2}$ がある。

(1)放物線上の点 $(-1,1)$ と $(2,4)$ における接線の方程式を求めよ。

(2)(1)で求めた2本の接線の交点を求めよ。

(3)(1)で求めた2本の接線と放物線 $y=x^{2}$ で囲まれる部分の面積を求めよ。

　

2.放物線 $y=x^{2}$ と座標平面上の点 $(-1,-3)$ がある。

(1)点 $(-1,-3)$ から引いた放物線 $y=x^{2}$ の接線の方程式をすべて求めよ。

(2)(1)で求めた接線と放物線 $y=x^{2}$ で囲まれる部分の面積を求めよ。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

接線と放物線で囲まれる部分の面積を求める問題2パターンを用意しました。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)こちらのパターンは接点がわかっている場合です。一般に曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(t,f(t))$ における接線の方程式は

$y=f^{\prime }(t)(x-t)+f(t)$

です。ここで $f^{\prime }(x)$ は関数 $f(x)$ の導関数ですので、「接線を求めよ」という言葉が問題文にあったら迷わず導関数を求めておきます。今回の問題の場合は $f(x)=x^{2}$ になりますので、 $f^{\prime }(x)=2x$ となります。点 $(-1,1)$ における接線の方程式は、上の式において $t=-1$ にあたるものになりますので、求める方程式は

$y=-2x-1$

ということになります。点 $(2,4)$ における接線の方程式も同じように考えて $y=4x-4$ となります。ここまで求めた2つの接線の交点は、連立方程式

$\left\{ \begin{array}{ccc} y&=&-2x-1\\ y&=&4x-4\end{array}\right.$

の解になりますが、この連立方程式を解くと $\displaystyle \left( \frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$ となります。

接線と放物線をグラフで表すと下のようになります。

赤色の直線が接線、青色の放物線が $y=x^{2}$ です。この赤色の直線と青色の放物線で囲まれる部分の面積を求めるのが最後の問題です。積分で求めますが、計算する前に囲めれる部分の上側の曲線の式と下側にある曲線の式を確認します。計算は

(上側の曲線の式)-(下側の曲線の式)

を積分します。赤色の直線が $\displaystyle x=\frac{1}{2}$ のところで式が変わりますので、ここで積分の計算を分けて計算を行います。求める面積の計算は次のようになります。

$\displaystyle \int_{-1}^{\frac{1}{2}}(x^{2}+2x+1)dx+\int_{\frac{1}{2}}^{2}(x^{2}-4x+4)dx$

$\displaystyle =\left[ \frac{1}{3}(x+1)^{3}\right] _{-1}^{\frac{1}{2}}+\left[ \frac{1}{3}(x-2)^{3}\right] _{\frac{1}{2}}^{2}=\frac{9}{4}$

(2)こちらの問題は曲線上にない点から接線を引くパターンです。曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(t,f(t))$ における接線の方程式は

$y=f^{\prime }(t)(x-t)+f(t)$

でした。今回は接点がわかりませんが、通る点がわかっていますので、その点の座標を上の式に代入します。そうすると

$-3=2t(-1-t)+t^{2}$

という $t$ の方程式が得られます。この等式を整理すると

$t^{2}+2t+3=0$

となりますので、この方程式を解くと $t=-3,\ 1$ となります。この値が接点の $x$ 座標です。したがって、求める接線は $y=-6x-9$ と $y=2x-1$ です。グラフに表すと下のようになります。

2本の接線と放物線で囲まれる部分の面積の求め方は(1)と同じように行います。以下の計算で求めます。

$\displaystyle \int_{-3}^{-1}(x^{2}+6x+9)dx+\int_{-1}^{1}(x^{2}-2x+1)dx$

$\displaystyle =\left[ \frac{1}{3}(x+3)^{3}\right] _{-3}^{-1}+\left[ \frac{1}{3}(x-1)^{3}\right] _{-1}^{1}$

$\displaystyle =\frac{8}{3}+\frac{8}{3}=\frac{16}{3}$

いかがだったでしょうか？

接線と放物線で囲まれる部分の面積については、教科書の例題にも載っています。

意外と教科書の問題が出題されることもあるかもしれません。特に節末問題や章末問題は要チェックかと思います。

教科書の例題には解答が載っていますが、読むだけではなく実際に手を動かして考えながら解いていくと良い復習になるはずです。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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