マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2018年1日目第1問・第2問】

指数関数と対数関数数と式入試問題

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今週は東京女子大学2018年の問題です。

今回は文系学部1日目の第1問と第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

第1問は対数不等式、第2問は恒等式の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)対数関数を扱う際は、常に真数条件に注意をしてください。

今回の真数条件は $x-1\gt 0$ かつ $x-3\gt 0$ ですので、この連立不等式を解くと $x\gt 3$ が真数条件となります。

あとは不等式を解くだけですが、対数関数がある方程式や不等式を解くときは底を合わせておきます。

不等式にある対数関数の底は $2$ と $\displaystyle \frac{1}{2}$ ですが、底を $2$ で合わせておくと後々の処理が楽です。

対数関数の底の変換公式により $\displaystyle \log_{\frac{1}{2}}{(x-3)}=-\log_{2}{(x-3)}$ となります。

よって、不等式を変形していくと

$\log_{2}{(x-1)}\lt -log_{2}{(x-3)}$

$\log_{2}{(x-1)}+\log_{2}{(x-3)}\lt 0$

$\log_{2}{(x-1)(x-3)}\lt 0(=\log_{2}{1})$

底は $2$ で $1$ より大きいので、求める不等式の解は $(x-1)(x-3)\lt 1$ の解となります。

この2次不等式を解くと $2-\sqrt{2}\lt x\lt 2+\sqrt{2}$ です。

真数条件と合わせると、求める $x$ の値の範囲は $3\lt x\lt 2+\sqrt{2}$ ということになります。

(2)まずは条件式を $x$ の式で表してみます。

$g(x)^{2}=b^{2}x^{4}+2bcx^{2}+c^{2}$

$f(x+1)f(x-1)=x^{4}+(2a-2)x^{2}+a^{2}+2a+1$

ですので、 $b^{2}x^{4}+2bcx^{2}+c^{2}=x^{4}+(2a-2)x^{2}+a^{2}+2a+1$ が $x$ の恒等式になれば良いです。

両辺の各次数の係数を比較すると、次の連立方程式が成り立ちます。

$\left\{ \begin{array}{ccc} b^{2}&=&1\\ 2bc&=&2a-2\\ c^{2}&=&a^{2}+2a+1 \end{array}\right.$

この連立方程式を解くと、 $(a,b,c)=(0,1,-1),\ (0,-1,1)$ となります。

いかがだったでしょうか？

そこまで難しくはない問題だったかと思います。

基本的な知識を使えば解けてしまいます。

式の証明、対数関数とも入試ではあまり出ない単元かと思いますが、出題はされるのでここも勉強を怠らないようにしたいところですね。

　

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