マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2021年2日目第3問】

微分積分入試問題

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今週は東京女子大学2021年の問題です。

今回は文系学部2日目第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

曲線と直線で囲まれる部分の面積を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

まずは点 $P$ における曲線 $C:y=x^{3}-x$ の接線を求めます。

接線の方程式を求めるためには導関数が必要ですので、それを求めると $y^{\prime }=3x^{2}-1$ となります。

したがって、求める接線の方程式は $y=(3a^{2}-1)x-2a^{3}$ となります。

点 $Q$ の座標は、曲線 $C:y=x^{3}-x$ と接線 $y=(3a^{2}-1)x-2a^{3}$ の交点で、点 $P$ ではないほうになります。

点 $Q$ の $x$ 座標は、方程式 $x^{3}-x=(3a^{2}-1)x-2a^{3}$ の解になりますので、この方程式を解くと

$x^{3}-3a^{2}x-2a^{3}=0$

$(x-a)^{2}(x+2a)=0$

したがって、 $x=a,x=-2a$ となりますが、 $x=a$ に対応する点は $P$ ですので、点 $Q$ の $x$ 座標は $x=-2a$ です。

よって、点 $Q$ の座標は $Q(-2a,-8a^{3}+2a)$ となります。

接線 $y=(3a^{2}-1)x-2a^{3}$ と曲線 $C$ で囲まれる部分の面積は

$\displaystyle \int_{-2a}^{a}(x^{3}-3a^{2}x+2a^{3})dx=\frac{27}{4}a^{4}$

となります。

いかがだったでしょうか？

3次関数の積分が必要となりますので、教科書から逸脱している部分はありますが、やることは基本的なことばかりです。

接線の方程式を求めるのも、曲線上の点から求めますので難しくはないはずです。

文字が含まれるので計算が大変ですが、入試問題ではこのような計算が頻出ですので慣れておきたいです。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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