マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京未来大学の問題ver.20220731

図形と計量・図形の性質入試問題

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今週は東京未来大学2017年の問題です。

今回は2日目第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

平面図形の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

おそらく出題ミスでしょうか？

途中で $\sin{75^{\circ }}$ の値を使わないといけないところがあるので、今回は値を与えてあります。

$\triangle ABC$ に正弦定理を用いると $\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{\sin{75^{\circ }}}=\frac{2}{\sin{\angle ABC}}$ が成り立つので $\displaystyle \sin{\angle ABC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ したがって $\angle ABC=45^{\circ }$ となります。

三角形の内角の和が $180^{\circ }$ であることから $\angle CAB=60^{\circ }$ となります。

よって、 $\triangle ABC$ の面積は $\displaystyle \frac{1}{2}\times AC\times AB\times \sin{\angle CAB}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$

$BC$ の長さは、余弦定理でも求められますが、計算がしんどいので正弦定理を用いて求めたほうが良さそうです。

$\displaystyle \frac{2}{\sin{45^{\circ }}}=\frac{BC}{\sin{60^{\circ }}}$ から $BC=\sqrt{6}$ となります。

また、 $\triangle ABC$ の外接円の半径を $R$ とすると、正弦定理より $R=\frac{1}{2}\times \frac{2}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$ となります。

最後に $\triangle BGD$ の面積ですが、点 $D$ は辺 $BC$ の中点なので $\displaystyle \trinagle ABD=\frac{1}{2}\triangle ABC$ となります。

点 $G$ は $\triangle ABC$ の重心なので $AG:GD=2:1$ となっています。

したがって $\displaystyle \triangle BGD=\frac{1}{3}\triangle ABD=\frac{1}{6}\triangle ABC$ となります。

いかがだったでしょうか？

ひたすら正弦定理を使う問題でした。

余弦定理を使わない問題も珍しい感じがします。

正弦定理を使う問題としては良い練習台になるのではないでしょうか。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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