徳島県教員採用試験の問題【2018年中高共通第6問】

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今回の問題

今週は2018年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第1問です。

今回の問題の原文（記述式）

$p$ を実数とする。 $x$ の3次方程式 $x^{3}+(p-1)x^{2}+px-2p=0$ …①について、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1)方程式①が異なる3つの実数解を持つとき、 $p$ の値の範囲を求めなさい。

(2)(1)のとき、①の異なる3つの実数解が、数直線上で等間隔に並ぶような $p$ の値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

3次方程式の解に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

因数定理が使えないかを考えてみる

$f(x)$ が多項式であるとき、 $f(\alpha )=0$ が成り立つとき、多項式 $f(x)$ は $(x-\alpha )$ に因数を持つというのが因数定理の主張です。この定理が使えないかどうかを考えます。方程式の左辺を $f(x)$ とおくと

$f(x)=x^{3}+(p-1)x^{2}+px-2p$

ですが、これは多項式ですので、因数定理が使える形です。 $p$ の係数に注目すると、 $x=1$ にすると $f(x)=0$ になりそうです。実際に代入して計算していくと

$\begin{eqnarray*} f(1)&=&1+(p-1)+p-2p\\ &=&1+p-1+p-2p=0\end{eqnarray*}$

となりますので、 $f(x)$ は $(x-1)$ を因数に持ちます。したがって組立除法等を用いて $f(x)$ を因数分解すると

$f(x)=(x-1)(x^{2}+px-2p)$

となります。

判別式を使って解の個数が3つになるときを考える

方程式は $f(x)=0$ です。先ほど因数分解から $x=1$ または $x^{2}+px+2p=0$ がこの3次方程式の解になります。問題なのは後者の $x^{2}+px+2p=0$ の解の個数です。これを調べる必要があります。 $x$ の2次方程式 $x^{2}+px+2p=0$ の判別式を $D$ とすると

$D=p^{2}-8p$

となります。2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は $D\gt 0$ ですので、この2次不等式を解くと $p\lt 0,8\lt p$ となります。単純に考えると $p$ がこの値の範囲内であれば、最初の3次方程式は異なる3つの実数解を持ちます。ところが、 $f(x)$ の因数分解から $(x-1)$ を因数に持ちますので $x$ の方程式 $x^{2}+px+2p=0$ が $x=1$ の解を持つと3次方程式の解の個数が2個になってしまいます。そうなるような $p$ の値を求めると $1+p+2p=0$ より $\displaystyle p=-\frac{1}{3}$ となります。よって、3次方程式が異なる3つの実数解を持つような $p$ の値の範囲は

$\displaystyle p\lt -\frac{1}{3},\ -\frac{1}{3}\lt p\lt 0,\ 8\lt p$

となります。

3つの解が数直線上で等間隔になるような $p$ の値を求める

$x$ の2次方程式 $x^{2}+px+2p=0$ の2つの解を $\alpha ,\ \beta$ とし、この2つの数の大小関係を $\alpha \lt \beta$ とします。2次方程式の解と係数の関係から

$\alpha +\beta =-p,\ \alpha \beta =2p$

が成り立ちます。この2つの式から

$\alpha \beta +2\alpha +2\beta =0$ …②

が得られます。ここから3つの解の大小関係で場合分けをして考えます。

$1\lt \alpha \lt \beta$ のとき

$\alpha$ と $\beta$ はともに1より大きいので

$\alpha \beta +2\alpha +2\beta \gt 1\times 1+2+2=5$

が必ず成り立ちますので、 $\alpha \beta +2\alpha +2\beta=0$ を満たすような実数 $\alpha,\ \beta$ は存在しません。

$\alpha \lt 1\lt \beta$ のとき

この大小関係とこの3数が数直線上で等間隔に並んでいることから

$1-\alpha =\beta -1$

が成り立ちます。この式を変形すると $\alpha +\beta =2$ となりますので、先ほどの2次方程式の解と係数の関係から $p=-2$ となります。

$\alpha \lt \beta \lt 1$ のとき

この大小関係とこの3数が数直線上で等間隔に並んでいることから

$\beta -\alpha =1-\beta$

が成り立ちます。この式を変形すると $\alpha =2\beta -1$ となります。これを②の式に代入すると、 $\beta$ の2次方程式

$2\beta ^{2}+5\beta -2=0$

が得られます。この方程式を解くと $\displaystyle \beta =\frac{-19\pm 3\sqrt{41}}{4}$ となります。それぞれの場合の $\alpha$ の値を求めると $\displaystyle \alpha =\frac{-7\pm \sqrt{41}}{2}$ (複合同順)となりますので、それぞれで $p$ の値を求めると $\displaystyle p=\frac{19\pm 3\sqrt{41}}{4}$ となります。