マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京都教員採用試験の問題ver.20220630

ご訪問ありがとうございます!

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!

今週は東京都教員採用試験の問題です。

今回は令和2年度実施の問題の大問2です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

 Pの位置がどこにあるかがわからないと壊滅的になるような問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)点 Pの位置は、点 Mと平面 CGHDに関して対称な点を M^{\prime }とすると、線分 AM^{\prime }と平面 CGHDとの交点になります。

 M^{\prime }は立方体の外にあり、直線 FG Gと同じ側にあり、かつ GM^{\prime }=1となっています。

したがって、 AM^{\prime }の長さは次のようになります。

 AM^{\prime }=\sqrt{2^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{17}

この値が AP+PMの値です。

 \triangle PMM^{\prime }に注目すると、点 M M^{\prime }は平面 CGHDに関して対称な位置にあり、点 Pは平面 CGHD上にあるので、 PM=PM^{\prime }となっています。

これでわかることは、 \triangle PMM^{\prime } \angle PMM^{\prime }=\angle PM^{\prime }M二等辺三角形であることです。

 \angle APM \angle MPM^{\prime }の外角ですので、先ほどのことと合わせると

 \cos{\angle APM}=\cos{2\angle PM^{\prime }M}

ということが言えますので、 \cos{\angle PM^{\prime }M}=\cos{AM^{\prime }M}の値さえ求めれば、あとは倍角の公式を使って \cos{\angle APM}の値を導くことができます。

 \cos{\angle AM^{\prime }M}の値は \triangle AM^{\prime }M余弦定理を用いると求めることができます。

(2)(1)より、 \cos{\angle MPM^{\prime }}=-\cos{\angle APM}ですので、 \triangle PMM^{\prime }余弦定理を用いると PM^{\prime }の長さを求めることができます。

一方、 \triangle AEM^{\prime }に注目すると、この三角形は \angle AEM^{\prime }=90^{\circ }の直角三角形ですので、三角比の定義を用いて \sin{\angle AM^{\prime }E}の値を求めることができます。

 \displaystyle PQ=PM^{\prime }\sin{\angle AM^{\prime }E}

で求めることができます。

相似な図形を用いて求められそうですね…。

(3)(2)より EQ:QM^{\prime }=2:1であり、 EM^{\prime }=\sqrt{13}から \displaystyle EQ=\frac{2\sqrt{13}}{3}です。

また、点 Qは平面 CGHD上にありますので、 QM=QM^{\prime }であることがわかります。

これで \triangle EMQの3辺の長さがわかりましたので、余弦定理を用いると \sin{\angle EMQ}が求められます。

これにより、点 Eから直線 MQに下ろした垂線の長さは EQ\sin{\angle EQM}で求められます。

この垂線の長さを hとすると、四面体 AMPQの体積は \displaystyle \frac{1}{3}\times \triangle PMQ\times hで求めることができます。

いかがだったでしょうか?

もう少しシンプルな解き方があるのをこの記事を書いている途中で気がつきました。

高度な知識を使えば簡単に解く方針が見つかるので楽なのですが、シンプルな方法で解ける方が頭良いのかなぁ。と思います。

まぁ、元の問題がマーク方式になっていますので解き方までは見てはくれません…。

 

それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/

Twitterで更新を報告しています!フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper