ご訪問ありがとうございます!
解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!
今週は東京都教員採用試験の問題です。
今回は令和2年度実施の問題の大問2です。
今回の問題について
難易度は☆☆☆☆です。
点の位置がどこにあるかがわからないと壊滅的になるような問題です。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
(1)点の位置は、点と平面に関して対称な点をとすると、線分と平面との交点になります。
点は立方体の外にあり、直線のと同じ側にあり、かつとなっています。
したがって、の長さは次のようになります。
この値がの値です。
に注目すると、点とは平面に関して対称な位置にあり、点は平面上にあるので、となっています。
これでわかることは、はの二等辺三角形であることです。
はの外角ですので、先ほどのことと合わせると
ということが言えますので、の値さえ求めれば、あとは倍角の公式を使っての値を導くことができます。
の値はに余弦定理を用いると求めることができます。
(2)(1)より、ですので、に余弦定理を用いるとの長さを求めることができます。
一方、に注目すると、この三角形はの直角三角形ですので、三角比の定義を用いての値を求めることができます。
で求めることができます。
相似な図形を用いて求められそうですね…。
(3)(2)よりであり、からです。
また、点は平面上にありますので、であることがわかります。
これでの3辺の長さがわかりましたので、余弦定理を用いるとが求められます。
これにより、点から直線に下ろした垂線の長さはで求められます。
この垂線の長さをとすると、四面体の体積はで求めることができます。
いかがだったでしょうか?
もう少しシンプルな解き方があるのをこの記事を書いている途中で気がつきました。
高度な知識を使えば簡単に解く方針が見つかるので楽なのですが、シンプルな方法で解ける方が頭良いのかなぁ。と思います。
まぁ、元の問題がマーク方式になっていますので解き方までは見てはくれません…。
それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/
Twitterで更新を報告しています!フォローよろしくお願いします(・ω・)