マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題ver.20220902

ベクトル入試問題

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今週は東京女子大学2016年の問題です。

今回は文系学部2日目第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

ベクトルを用いて面積比を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

点 $P$ は $AB$ の中点なので $\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\vec{x}$ 、点 $Q$ は $AC$ を $4:1$ に内分する点なので $\displaystyle \overrightarrow{AQ}=\frac{4}{5}\vec{y}$ 、点 $R$ は $BC$ を $4:1$ に外分する点なので $\displaystyle \overrightarrow{AR}=\frac{-\vec{x}+4\vec{y}}{4-1}=-\frac{1}{3}\vec{x}+\frac{4}{3}\vec{y}$ となります。

したがって、ベクトルの基本的な計算 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ を用いることにより

$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}$

$\displaystyle =-\frac{1}{2}\vec{x}+\frac{4}{5}\vec{y}$

$\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AP}$

$\displaystyle =-\frac{5}{6}\vec{x}+\frac{4}{3}\vec{y}$

となります。

このことから $\displaystyle \frac{3}{5}\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{PQ}$ が成り立つので、 $P,\ Q,\ R$ は同一直線上にあります。

よって $PQ:QR=3:2$ ということがわかります。

ここから $\triangle PBQ$ と $\triangle QCR$ の面積比を求めていきますが、一旦図で表してみます。下の図です。

求めるものは赤色の三角形と水色の三角形の面積比です。

$\triangle QCR:\triangle QBR=CR:BR=4:1$ 、 $\triangle QBR:\triangle PBR=QR:PQ=3:2$ であることから

$\displaystyle \triangle PBQ=\frac{3}{5}\triangle PBR,\ \triangle QCR=\frac{1}{10}\triangle PBR$ であるので、求める面積比は

$\displaystyle \triangle PBQ:\triangle QCR=\frac{3}{5}:\frac{1}{10}=6:1$

いかがだったでしょうか？

三角形の面積比を求める問題は高さが共通な三角形を見つけていくと解くことができます。

同じ三角形の面積を使って表現できないか？ということを考えていくと答えに行きつけるかと思います。

このタイプの問題はよく見かける問題ですので是非チェックをしておきたい問題です。

　

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