徳島県教員採用試験の問題【2005年中高共通第1問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は2005年実施の徳島県教員採用試験の専門教養数学の問題です。

今回は中高共通問題の第1問です。

今回の問題の原文

$\triangle ABC$ の内部の点 $P$ に対して $6\overrightarrow{PA}+5\overrightarrow{PB}+4\overrightarrow{PC}=\vec{0}$ が成り立つとき、 $AP$ と辺 $BC$ との交点を $D$ とする。このとき、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1) $\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて表しなさい。

(2) $\triangle PAC$ の面積と $\triangle PBD$ の面積の比を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

ベクトルと面積比の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

条件の式から

$15\overrightarrow{AP}=5\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}$

となりますので、この両辺を15で割って

$\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{15}\overrightarrow{AC}$

となります。ここで、 $\overrightarrow{AD}$ を求めてみます。点 $D$ は直線 $AP$ 上になりますので、 $\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AP}$ となる実数 $k$ が存在します。したがって

$\displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}k\overrightarrow{AB}+\frac{4}{15}k\overrightarrow{AC}$

となります。また、点 $D$ は辺 $BC$ 上にありますので $\displaystyle \frac{1}{3}k+\frac{4}{15}k=1$ となります。この方程式を解くと $\displaystyle k=\frac{5}{3}$ となりますので

$\displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac{5}{9}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{9}\overrightarrow{AC}=\frac{5\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}}{4+5}$