教員採用試験問題集のチェックテスト【数列と図形】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は教員採用試験問題集のチェックテストの問題です。

今回は数列と図形に関する問題です。

一辺の長さが1の正方形のマスが $n^{2}$ 個正方形状に並べられた図形を $S_{n}$ とする。図形 $S_{2}$ には「一辺の長さが1の正方形が4個と、一辺の長さが2の正方形1個の、合計5個の異なる正方形が含まれる」と考えるとき、下の各問いに答えよ。

(1)図形 $S_{4}$ に含まれる異なる正方形の個数を求めよ。

(2)図形 $S_{n}$ に含まれる一辺の長さが $k(1\leqq k\leqq n)$ の正方形の個数を $n$ と $k$ を用いて表せ。

(3)図形 $S_{n}$ に含まれる異なる正方形の個数を求めよ。

難易度は☆☆☆です。

正方形の個数を数える問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

図形 $S_{4}$ に含まれる異なる正方形の個数は

・一辺の長さが4の正方形が1個

・一辺の長さが3の正方形が4個

・一辺の長さが2の正方形が9個

・一辺の長さが1の正方形が16個

それぞれありますので、全部で30個あります。これと同じように考えていくと、図形 $S_{n}$ に含まれる長さ $k$ の正方形に個数は $(n-k+1)^{2}$ 個となります。したがって、図形 $S_{n}$ に含まれる異なる正方形の個数は

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(n-k+1)^{2}=n^{2}+(n-1)^{2}+(n-2)^{2}+\cdots +1$

$\displaystyle= \sum_{k=1}^{n}k^{2}$

$\displaystyle =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

となります。

規則性がわかればすんなり解ける問題でした。

規則性を見つけるためには、 $n=1$ のときから順番に実験してみてどのように変化していっているのかを注目します。

最終的に一般化して文字式で表しますが、ここが一番難しいところではないかと思います。

最初のうちは「こうじゃないのか？」と一度式を立ててみて具体的な数値を代入していって、それが合っているか確かめてみると良いかもしれません。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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