マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京未来大学の問題ver.20220814

図形と計量・図形の性質場合の数と確率入試問題

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今週は東京未来大学の2019年の問題です。

今回は2日目第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

余弦定理、集合の要素、確率の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)三角形の3辺の長さが与えられていますので、余弦定理を用いて $\cos{C}$ の値を求めます。

$\displaystyle \cos{C}=\frac{8^{2}+12^{2}-10^{2}}{2\times 8\times 12}=\frac{9}{16}$

となります。最終的に三角形の面積を求めなければいけないので、 $\sin{C}$ の値が必要です。

三角関数の相互関係 $\cos^{2}{C}+\sin^{2}{C}=1$ を用いて $\sin{C}$ の値を求めると $\displaystyle \sin{C}=\frac{5\sqrt{7}}{16}$ となりますので、三角形の面積は

$\displaystyle \frac{1}{2}\times 8\times 12\times \frac{5\sqrt{7}}{16}=15\sqrt{7}$

(2)集合 $A$ の要素に注目すると、 $A\cap B=\{ 5\}$ から $a+2=5$ となるか $a-2=5$ となるかの2通りが考えられます。

$a+2=5$ のとき、 $a=3$ なので、集合 $B$ の要素は $B=\{ 4,5,8,10\}$ となり、条件を満たします。

$a-2=5$ のとき、 $a=7$ なので、集合 $B$ の要素は $B=\{ 4,12,13,22\}$ となりますが、このとき $A\cap B=\emptyset$ となりますので条件を満たしません。

したがって、求める $a$ の値は $a=3$ となります。

(3)出た目の最大値が4となるような目の出方の組合せは

$(1,1,4),\ (1,2,4),\ (1,3,4),\ (1,4,4),\ (2,2,4),$

$(2,3,4),\ (2,4,4),\ (3,3,4),\ (3,4,4),\ (4,4,4)$

がありますが、これらの順列を考えて最大値が4となるさいころの目の出方は37通りです。

(4)赤球の個数を $x$ 個とすると、白球の個数は $18-x$ 個になります。

球を2個同時に取り出して、球の色が同じ確率は赤球を2個取り出したときと白球2個取り出したときを考えて

$\displaystyle \frac{_{x}C_{2}+_{18-x}C_{2}}{_{18}C_{2}}=\frac{x(x-1)+(18-x)(17-x)}{18\times 17}$

となります。この値が $\displaystyle \frac{73}{153}$ となれば良いので

$\displaystyle \frac{x(x-1)+(18-x)(17-x)}{18\times 17}=\frac{73}{153}$

という方程式が成り立ちます。この方程式の解は $x=8,\ 10$ となります。

条件は赤球の個数より白球の個数のほうが多いので $x＜18-x$ が条件です。

この不等式の解は $x＜9$ ですので、求める赤球の個数は8個になります。

いかがだったでしょうか？

最後の問題が一番難しいかもしれませんが、それ以外の問題は基礎問題となりますのでぜひともとっておきたい問題です。

中盤の2問は小手調べが必要なので丁寧に数え上げていくことが重要かと思います。

最後の問題は文字を含む組合せの計算に慣れておかないと苦しくなるかもしれません。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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