確率の問題ver.20220511 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は教員採用試験で出題された確率の問題です。

今回は大阪府・大阪市教員採用試験で出題された問題です。

難易度は☆☆☆☆です。

決まっている確率から赤球の個数を定める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

一般化させて考えると後で楽ですが、その一般化が難しい場合がありますので、まずは具体的に数値を与えて具体例からどのように求めればよいかを考えます。

袋の中の状況は赤球と白球が合わせて13個入っている状況です。

(1)赤球が12個であるとします。

球を同時に2個取り出す場合の数は $_{13}C_{2}=78$ 通りです。

同じ球を取り出す場合の数は、白球は1個しか入っていませんので、赤球2個引く場合しか考えられません。

したがって、その場合の数は $_{12}C_{2}=66$ 通りあります。

よって、この場合のときの2個同時に球を引いたとき、同じ球を取り出す確率は $\displaystyle \frac{66}{78}=\frac{11}{13}$ となります。

(2)球を同時に2個取り出したとき、同じ色の球が取り出される確率が $\displaystyle \frac{7}{13}$ となるような赤球の個数を $k$ 個とします。

(1)から赤球の個数は12個ではないことがわかります。また、13個でもありません。

また、赤球の方が白球より多いので、赤球の個数は7〜11個であることがわかります。

このとき、白球が2個以上入っていますので、白球が2個取り出す場合のカウントも忘れないように注意します。

2個同時に取り出して、同じ色が出る場合の数は $\displaystyle _{k}C_{2}+_{13-k}C_{2}=\frac{k(k-1)+(13-k)(12-k)}{2}=\frac{2k^{2}-26k+156}{2}=k^{2}-13k+78$ となりますので、

$\displaystyle \frac{k^{2}-13k+78}{78}=\frac{7}{13}$

という条件が成り立ちます。これは $k$ についての2次方程式ですので、これを解くと $k=4,9$ ですが、赤球の個数の条件に注意して赤球の個数は9個であることがわかります。

組合せの計算がしっかり理解できていれば解ける問題でした。

教員採用試験の専門教養の問題なので解けて当たり前かも知れませんが、受験生に対して出しても良い問題かもしれません。

この問題、どこかの入試問題で見たような気がします。どこの問題だったかなぁ？

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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