マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

確率の問題ver.20220509

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今週は教員採用試験で出題された確率の問題です。

今回は教員採用試験で押さえておきたい確率の問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

3人のとき、2人のときに場合分けして考えていく必要がありそうです。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

最初は3人いますので、3人の時を考えてみます。

3人でじゃんけんをしてあいこになる確率は \displaystyle \frac{1}{3}です。

この場合、次のじゃんけんも3人で行うことになります。

3人でじゃんけんをして2人勝ち残る確率は \displaystyle \frac{1}{3}です。

この場合は次のじゃんけんは2人で行うことになります。

3人でじゃんけんをして1人勝ち残る確率は \displaystyle \frac{1}{3}です。

この場合はこのじゃんけんで終了となります。

続いて、2人でじゃんけんした場合を考えます。

あいこになる確率は \displaystyle \frac{1}{3}です。

この場合は次のじゃんけんも2人で行うことになります。

2人でじゃんけんをして1人が勝ち残る確率は \displaystyle \frac{2}{3}です。

この場合はこのじゃんけんで終了となります。

これらの確率を踏まえて4回で終了する確率を求めてみます。

円の中の数字はじゃんけんをしている人数とします。条件から1人になった時点で終了です。

初回は3人いますので、4回で終了するパターンは

(1)③→③→③→③→① (確率は \displaystyle \frac{1}{81}

(2)③→③→③→②→① (確率は \displaystyle \frac{2}{81}

(3)③→③→②→②→① (確率は \displaystyle \frac{2}{81}

(4)③→②→②→②→① (確率は \displaystyle \frac{2}{81}

この4パターンは同時には起こり得ませんので、和の法則より求める確率は \displaystyle \frac{7}{81}となります。

n回目で終了するパターンは

(1)3人から2人抜けて終了する(確率は \displaystyle \left( \frac{1}{3}\right) ^{n}

(2)3人から1人ずつ抜けて終了する(確率は \displaystyle \frac{2}{3}\times \left( \frac{1}{3}\right) ^{n-1}(n-1)

の2つで、これらは同時には起こりませんので、和の法則により確率は \displaystyle \frac{2n-1}{3^{n}}になります。

いかがだったでしょうか?

初見だと難しい問題かもしれません。

確か、私も解けなかった…。

解説に図が載ってましたが、わかりやすかったです。わからないときは答えを見てみるのも良いかもしれませんね。

 

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