マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

ベクトルの問題ver.20220418

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今週はベクトルの入試問題です。

今回は2019年岡山大学で出題された問題です。

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今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

ベクトルの頻出問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

 \triangle XYZの重心 Gの位置ベクトルは

 \displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OX}+\overrightarrow{OY}+\overrightarrow{OZ}

になります。今回の場合は \triangle DEFに対して用いますので、上の式で X→D,\ Y→E,\ Z→Fと置き換えて考えれば \triangle DEFの重心の位置ベクトルが表示できます。

あとは \overrightarrow{OD},\ \overrightarrow{OE},\ \overrightarrow{OF} \overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB},\ \overrightarrow{OC}を用いて表せないかを考えます。

点Hは直線 OG上にあるので、 \overrightarrow{OH}=k\overrightarrow{OG}となる実数 kが存在します。

また、点 H \triangle ABCと同じ平面上にあるので

 \overrightarrow{OH}=l\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}+n/overrightarrow{OC}

と表記したとき、 l+m+n=1となります。

 \overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OH}

ですので、これを用いて線分 AHの長さを求めます。

立体 OABCは正四面体なので、3つのベクトル

 \overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB},\ \overrightarrow{OC}

は、長さが1でどの2つのベクトルも60°で交わりますので、内積 \frac{1}{2}です。

いかがだったでしょうか?

ベクトルの基本的な問題なのでそこまでは難しくはないです。

図を描いてみると方針が見えてきます。

復習には良い問題かと思います。

 

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