マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京未来大学の問題ver.20220823

図形と計量・図形の性質入試問題

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今週は東京未来大学2021年の問題＋αの問題です。

今回は第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆です。

三角形に関する問題と三角関数の値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)三角形の2辺とその間の角の情報が与えられています。

このときは余弦定理によって残りの辺の長さを求めることができます。

$\displaystyle b^{2}=32+49-2\cdot 4\sqrt{2}\cdot 7\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=25$

$b＞0$ なので $b=5$ です。

必要な値は $\sin{A}$ の値ですので、正弦定理を用いたほうが早そうです。

$\displaystyle \frac{5}{\sin{45^{\circ }}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sin{A}}$ から $\displaystyle \sin{A}=\frac{4}{5}$ となります。

$\triangle ABC$ の外接円の半径は正弦定理を用いて求めます。

$\displaystyle \frac{5}{\sin{45^{\circ }}}=2R$ より $\displaystyle R=\frac{5\sqrt{2}}{2}$ となります。

三角形の内接円の半径は三角形の面積から求めます。

$\triangle ABC$ の面積は $\displaystyle \frac{1}{2}\times 7\times 4\sqrt{2}\times \frac{1}{\sqrt{2}}=14$ ですが、 $\triangle ABC$ の内接円の半径を $r$ とすると、三角形の面積は $\displaystyle \frac{1}{2}r(7+6+4\sqrt{2})$ ですので、次の方程式が成り立ちます。

$\displaystyle \frac{13+4\sqrt{2}}{2}r=14$

この方程式を解くと $r=3-\sqrt{2}$ となります。

(2)条件式を2乗すると $\displaystyle 1-2\sin{\theta }\cos{\theta }=\frac{1}{4}$ になりますので

$\displaystyle -2\sin{\theta }\cos{\theta }=-\frac{3}{4}$

$\displaystyle \sin{\theta }\cos{\theta }=\frac{3}{8}$

$x^{3}-y^{3}=(x-y)^{3}+3xy(x-y)$ であることを用いると

$\sin^{3}{\theta }-\cos^{3}{\theta }=(\sin{\theta }-\cos{\theta })^{3}+3\sin{\theta }\cos{\theta }(\sin{\theta }-\cos{\theta })$

$\displaystyle =\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}+3\times \frac{3}{8}\times \frac{1}{2}$

$\displaystyle =\frac{2}{16}+\frac{9}{16}=\frac{11}{16}$

いかがだったでしょうか？

今回も基礎問題でした。

この年から問題傾向が変わっているのでそうなっているのかな、という感じです。

　

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