徳島県教員採用試験の問題【2017年中高共通第1問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2017年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第1問です。

今回の問題の原文

$a,\ x$ は自然数とする。不等式 $a+1\lt \sqrt{x+2}\lt 2a+1$ …①について、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1) $a=3$ のとき、①を満たす $x$ の個数を求めなさい。

(2)①を満たす $x$ の個数が119であるとき、 $a$ の値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

不等式を満たす自然数の個数を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$a=3$ のとき

このときの不等式は $4\lt \sqrt{x+2}\lt 7$ となります。この不等式を解くと

$14\lt x\lt 47$

となります。この不等式を満たす自然数は15から46だでありますので、求める自然数の個数は32個になります。

不等式を満たす自然数の個数が119個になるときの $a$ の値

不等式①を解くと $(a+1)^{2}-2\lt x\lt (2a+1)^{2}-2$ となります。この不等式を満たす自然数の個数は $\{ (2a+1)^{2}-3\} -\{ (a+1)^{2}-2\}$ 個です。この個数が119個ですので、方程式

$\{ (2a+1)^{2}-3\} -\{ (a+1)^{2}-2\} =119$

が得られます。この方程式を解くと

$\begin{eqnarray*} \{ (2a+1)^{2}-3\} -\{ (a+1)^{2}-2\} &=&119\\ 4a^{2}+4a+1-3-a^{2}-2a-1+2&=&119\\ 3a^{2}+2a-120&=&0\\ (3a+20)(a-6)&=&0\end{eqnarray*}$

$a$ は自然数ですので $a=6$ となります。

いかがだったでしょうか？

(1)は $a$ の値が具体的に $a=3$ と与えられていますので、解きやすいと思います。

文字式のままで解くことが少し難しいですが、全く同じように解けば正解に行き着くはずです。

文字式の計算は慣れが必要ですので、演習を重ねておくと良いかもしれません。

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