徳島県教員採用試験の問題【2018年中高共通第2問】

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今回の問題

今週は2018年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第2問です。

今回の問題の原文（記述式）

平面上に $\triangle ABC$ があり、 $AB=3,\ BC=\sqrt{7},\ CA=2$ である。辺 $BC$ を直径とする円と、辺 $AB,\ CA$ との交点をそれぞれ $D,\ E$ とするとき、つぎの(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1) $\angle BAC$ の大きさと $\triangle ABC$ の面積を求めなさい。

(2)線分 $DE$ の長さと、四角形 $BCED$ の面積を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

円と三角形に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

図形の問題は図を描いて状況を把握する

図を描くと次のようになります。

図形に関する問題はこのように図を描くと解く方針が見えてきます。「図を正確に書きなさい」という問題を解いているわけでもないので自分が分かる程度で良いです。最初に要求されているのは $\angle BAC$ の大きさと $\triangle ABC$ の面積ですので、最初に余弦定理を使えば良いことがわかるかと思います。

$\triangle ABC$ の面積を求める

$\angle BAC$ の大きさは三角形の3辺の大きさが与えられていますので、余弦定理により次のように求めることができます。

$\begin{eqnarray*} \cos{\angle ABC}&=&\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\cdot AB\cdot AC}\\ &=&\frac{9+4-7}{2\cdot 2\cdot 3}\\ &=&\frac{6}{2\cdot 2\cdot 3}\\ &=&\frac{1}{2}\end{eqnarray*}$

したがって $\angle BAC=60^{\circ }$ となります。 $\triangle ABC$ の面積は $\displaystyle \sin{\angle BAC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ より

$\displaystyle \triangle ABC=\frac{1}{2}\times 2\times 3\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

となります。

$DE$ の長さと四角形 $BCED$ の面積を求める

$\triangle ABE$ は $\angle AEB=90^{\circ },\ \angle EAB=60^{\circ }$ の直角三角形ですので、 $\displaystyle BE=\frac{3\sqrt{3}}{2},\ AE=\frac{3}{2},\ EC=\frac{1}{2}$ となります。方べきの定理を用いると $AD=1$ が出てきます。よって $\triangle ADE$ の面積は