東京都立大学の問題【2020年前期日程第4問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2019年首都大学東京・2020年東京都立大学の問題です。

今回は2020年文系学部前期日程第4問です。

難易度は☆☆☆☆です。

接線と面積に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

接線を求める問題は、導関数を用いることが多いのでそれを求めておきます。

$f^{\prime }(x)=2a-2x$

ですので、原点における接線の傾きは $2a$ となります。

この傾きを持つ直線と垂直に交わる直線の傾きを $m$ とすると $2am=-1$ を満たしますので、 $\displaystyle m=-\frac{1}{2a}$ となります。

点 $(t,2at-t^{2})$ を通る接線の傾きが $\displaystyle -\frac{1}{2a}$ であるとき

$\displaystyle 2a-2t=-\frac{1}{2a}$

を満たしますので、これを $t$ について解くと $\displaystyle t=a+\frac{1}{4a}$ になります。

直線 $m$ の方程式は $\displaystyle y=-\frac{1}{2a}x+\left( a+\frac{1}{4a}\right) ^{2}$ ですので、曲線 $y=f(x)$ と直線 $m$ 、 $x=0$ 、 $x=2a$ で囲まれた部分の面積は

$\displaystyle S(a)=\int_{0}^{2a}\left\{ x^{2}-2\left( a+\frac{1}{4a}\right) x+\left( a+\frac{1}{4a}\right) ^{2}\right\} dx$

$\displaystyle =\int_{0}^{2a}\left\{ x-\left( a+\frac{1}{4a}\right) \right\} ^{2}dx$

$\displaystyle =\left[ \frac{1}{3}\left\{ x-\left( a+\frac{1}{4a}\right) \right\} ^{3}\right] _{0}^{2a}$

$\displaystyle =\frac{2}{3}a^{3}+\frac{1}{8a}$

となりますので $\displaystyle \frac{S(a)}{a}=\frac{2}{3}a^{2}+\frac{1}{8a^{2}}$ となります。

$\displaystyle a\gt 0$ ですので、 $\displaystyle \frac{2}{3}a^{2}\gt 0,\ \frac{1}{8a^{2}}\gt 0$ です。

したがって、相加平均と相乗平均の関係より

$\displaystyle \frac{2}{3}a^{2}+\frac{1}{8a^{2}}\geqq 2\sqrt{\frac{2}{3}a^{2}\times \frac{1}{8a^{2}}}$

$\displaystyle \hspace{5.25em}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

等号成立は $\displaystyle \frac{2}{3}a^{2}=\frac{1}{8a^{2}}$ すなわち $\displaystyle a=\frac{\sqrt[4]{3}}{2}$ のときです。

したがって、 $\displaystyle \frac{S(a)}{a}$ の最小値は $\displaystyle a=\frac{\sqrt[4]{3}}{2}$ のとき $\frac{\sqrt{3}}{3}$ であることがわかります。

最後が難しいところであったかと思います。

相加平均と相乗平均の関係はなかなか出てこないかもしれません。

かけたら文字が消えそう…と思ったら使うほうが良いのでしょうか⁉

少し訓練が必要なタイプの問題ですね。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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