マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京都立大学の問題【2020年前期日程第3問】

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今週は2019年首都大学東京・2020年東京都立大学の問題です。

今回は2020年文系学部前期日程第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

絶対値を含む関数のグラフと直線との交点を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

絶対値記号の外し方は

 |a|=\left\{ \begin{array}{cc} a&(a\geqq 0)\\ -a&(a\lt 0)\end{array}\right.

です。つまり、絶対値記号の中の符号に場合分けをして行う必要があります。

扱っている関数は

 \displaystyle  f(x)=\frac{1}{2}|x^{2}+2x-3|+x-\frac{3}{2}

で、絶対値記号の中が x^{2}+2x-3です。この式の値の符号に場合分けをして絶対値記号を外します。

 x^{2}+2x-3\geqq 0の解は x\leqq -3,/ 1\leqq xですので、このときは絶対値記号をそのまま外して計算を行って

 \displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^{2}+2x-3

これ以外のときは x^{2}+2x-3\lt 0となりますので、絶対値記号を外すときは中の符号を全て変えて外して計算を行います。

 \displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}x^{2}

となります。元の問題には「グラフをかきなさい」とありますので下にグラフを表示しておきます。

問題になっている場合は後で必要になります。

このグラフと直線 \displaystyle y=k(x+3)-\frac{5}{2}との交点の個数を求めることが最後の仕事になるわけです。

この直線は[tex. k]の値に関係なく点 \displaystyle \left( -3,\frac{5}{2}\right)を通ります。

図に描くと以下のようになります。点 A kの値に関係なく直線が通る点です。

ここから曲線 y=f(x)と直線の交点によって場合分けを行います。

・直線が y=f(x)と接する→ 3

・直線が y=f(x)の尖っているところを通る→ 3

・直線が y=f(x) -3\lt x\lt 1の部分では交わらない→ 2

・それ以外→ 4

この4つの場合が考えられますので、それぞれで kに対する条件を立てて方程式や不等式を解いていきます。

 \displaystyle k\lt \frac{1}{2},\ 1\lt kのとき交点は2個

 \displaystyle k=\frac{1}{2},\ 1のとき交点は3個

 \displaystyle \frac{1}{2}\lt k\lt 1のとき交点は4個となります。

いかがだったでしょうか?

絶対値記号が含まれている分、難易度が上がるかもしれませんが、この大学の入試ではよく出る傾向があります。

ですので、東京都立大学の文系学部を受験されるのであれば絶対値の扱いはマスターしておいた方が良いです。

扱い方がよくわからない、という場合は4STEPなどの教科書用の問題集から始めると良いかと思います。

 

それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/

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