マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2017年前期日程第3問】

2次関数入試問題

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今週は首都大学東京2017年・2018年の問題です。

今回は2017年文系学部前期日程第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

2つのグラフで囲まれる部分の面積を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$g(x)$ には絶対値記号がありますので、絶対値の中身の符号によって場合分けをして考えます。

$x\lt -1$ のとき $x+1\lt 0,\ x-1\lt 0$ ですので $g(x)=-2x$ となります。

$-2x=6$ を解くと $x=-3$ で、これは $x\lt -1$ を満たします。

$-1\leqq x\lt 1$ のとき $x+1\geqq 0,\ x-1\lt 0$ ですので $g(x)=2$ となります。したがって、 $g(x)=6$ をみたす $x$ は存在しません。

$x\geqq 1$ のとき $x+1\geqq 0,\ x-1\geqq 0$ ですので $g(x)=2x$ となります。

$2x=6$ を解くと $x=3$ で、これは $x\geqq 1$ を満たします。

$y=g(x)$ のグラフは $y$ 軸に関して対称ですので、 $x\geqq 0$ の部分で考えれば充分です。

$y=f(x)$ のグラフと $y=g(x)$ のグラフが接するところは

(1) $x\lt -1$ の部分

(2) $-1\leqq x\lt 1$ の部分

(3) $x\gt 1$ の部分

が考えられます。(2)と $y=f(x)$ が放物線であることから、 $y=f(x)$ の頂点の $y$ 座標が $2$ であることが考えられます。

放物線 $y=f(x)$ の頂点が $(0,b)$ ですので、 $b=2$ であることがわかります。

あとは $a$ の値ですが、 $x$ の2次方程式 $ax^{2}+2=2x$ が接していればいいので、この方程式の判別式を $D$ とすると

$D/4=1-2a$

となります。グラフが接する条件は $D=0$ ですので、この方程式を解くと $\displaystyle a=\frac{1}{2}$ ということになります。

このときの $y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフは以下のようになります。

$y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフで囲まれる部分の面積は

$\displaystyle S=\frac{1}{2}\int_{-2}^{-1}(x^{2}+4x+4)dx+\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}x^{2}dx+\frac{1}{2}\int_{1}^{2}(x^{2}-4x+4)dx$

$\displaystyle =\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{3}(x+2)^{3}\right] _{-2}^{-1}+\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{3}x^{3}\right] _{-1}^{1}+\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{3}(x-2)^{3}\right] _{1}^{2}=\frac{2}{3}$

となります。

いかがだったでしょうか？

絶対値を含む関数に関しては、毎年出題されているような気がします。

2か月ほど首都大学東京の問題を紹介していますが、そろそろ傾向が見えてきたのではないでしょうか？

現在は「東京都立大学」となっていますが、傾向はそんなに変わらないかと思います。

東京都立大学を受ける方は絶対値に注目して勉強を進めていくと良いかもしれませんね。

　

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