マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2007年中高共通第1問】

微分積分教員採用試験の過去問

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今週は2007年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第1問です。

今回の問題の原文

放物線 $y=x(2-x)$ と $x$ 軸で囲まれた面積を、放物線 $y=ax^{2}$ が2等分するように $a$ の値を定めなさい。ただし $a\gt 0$ とする。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

面積を二等分する放物線を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

まずは放物線 $y=x(2-x)$ と $x$ 軸で囲まれる面積を求めます。この放物線と $x$ 軸との交点の $x$ 座標は $0$ と $2$ ですので、求める面積は

$\displaystyle \int_{0}^{2}x(2-x)dx=\frac{1}{6}(2-0)^{3}=\frac{4}{3}$

となります。

放物線 $y=ax^{2}$ を描くと、先ほどの図形は放物線 $y=x(2-x)$ と $y=ax^{2}$ で囲まれる部分とそれ以外の部分に分けられます。

図に描くと次のようになります。（図は $y=x(2-x)$ と $y=x^{2}$ )

放物線 $y=x(2-x)$ と放物線 $y=ax^{2}$ の交点の $x$ 座標は $x=0$ と $\displaystyle x=\frac{2}{a+1}$ ですので、放物線 $y=x(2-x)$ と放物線 $y=ax^{2}$ で囲まれる面積は

$\displaystyle \int_{0}^{\frac{2}{a+1}}\left\{ x(2-x)-ax^{2}\right\} dx=-\int_{0}^{\frac{2}{a+1}}\left\{ (a+1)x^{2}-2x\right\} dx$

$\displaystyle =\frac{a+1}{6}\left( \frac{2}{a+1}\right) ^{3}=\frac{4}{3(a+1)^{2}}$

となります。よって、 $a$ が満たすべき条件は

$\displaystyle \frac{4}{3(a+1)^{2}}=\frac{2}{3}$

となります。この方程式を解くと $a\gt 0$ より $a=\sqrt{2}-1$ です。

いかがだったでしょうか？

曲線で囲まれる部分の面積を求める基礎問題ではないかと思います。

面積を求めるためにはグラフの上下関係を知る必要がありますので、グラフを描いてみることが重要になります。

係数に文字が含まれる場合は、その文字に対して具体的に数値を決めて描いてみるとわかりやすくなります。

　

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