マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2017年1日目第4問】

図形と方程式入試問題

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今週は東京女子大学2017年の問題です。

今回は文系学部1日目の第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

放物線上の2点とそれらの点における接線でできる三角形の面積を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

文字式のままで処理をしないといけないので少し難しいかもしれません。

$y=x^{2}$ 上の点 $(t,t^{2})$ における接線の方程式は、 $y^{\prime }=2x$ であることから

$y=2tx-t^{2}$

になります。

したがって、点 $P(a,a^{2})$ における接線の方程式は $y=2ax-a^{2}$ 、点[tex; Q(b,b^{2})]における接線の方程式は $y=2bx-b^{2}$ となります。

この2本の接線の交点の $x$ 座標は、 $x$ の方程式 $2ax-a^{2}=2bx-b^{2}$ の解で、これを解くと $\displaystyle x=\frac{a+b}{2}$ となり、 $y$ 座標は $ab$ となります。

よって点 $R$ の座標は $\displaystyle \left( \frac{a+b}{2},ab\right)$ であることがわかります。

直線 $PQ$ の方程式は $y=(a+b)x-ab$ で、この式を整理すると $(a+b)x-y-ab=0$ です。

この直線と点 $R$ との距離は

$\displaystyle \frac{|\frac{1}{2}(a+b)^{2}-ab-ab|}{\sqrt{(a+b)^{2}+1}}=\frac{(b-a)^{2}}{2\sqrt{(a+b)^{2}+1}}$

であり、線分 $PQ$ の長さは $(b-a)\sqrt{(a+b)^{2}+1}$ ですので、 $\triangle PQR$ の面積は

$\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{(b-a)^{2}}{2\sqrt{a+b)^{2}+a}}\times (b-a)\sqrt{(a+b)^{2}+1}=\frac{1}{4}(b-a)^{3}$

のようにして $\triangle PQR$ の面積を求めることができます。

いかがだったでしょうか？

文字式が多くて少し難しいかもしれません。

ですが、やっていることは基本的なことで、きちんと公式を使っていけば難なくクリアできる問題です。

一つずつ丁寧に問題を解決していけば答えに行きつきそうです。

入試問題ではこのような問題が多いので訓練をしていく必要があるのかな？と思います。

　

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