マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2006年高等学校第3問】

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今週は2006年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は高等学校第3問です。

今回の問題の原文

次の極限値を求めなさい。

 \displaystyle \lim_{n\to \infty }n\left[ \frac{1}{3n^{2}+1^{2}}+\frac{1}{3n^{2}+2^{2}}+\frac{1}{3n^{2}+3^{2}}+\cdots +\frac{1}{3n^{2}+k^{2}}\right]

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

区分求積法を用いる問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

区分求積法を用いて極限値を求めます。

 \displaystyle n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{3n^{2}+k^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{3+(\frac{k}{n})^{2}}

 \displaystyle =\int_{0}^{1}\frac{dx}{3+x^{2}}

ここで置換積分を用いて計算をします。 x=\sqrt{3}\tan{\theta }とおくと \displaystyle dx=\sqrt{3}\frac{d\theta }{\cos^{2}{\theta }}となりますので

 \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{dx}{3+x^{2}}=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\frac{1}{\sqrt{3}}

 \displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{18}

となります。

いかがだったでしょうか?

今回は数学Ⅲの内容になりましたが、数学Ⅲの基礎内容が入試問題などで出題されます。

ですので、数学Ⅲの簡単な問題だけでも解けるようにしておけばある程度は試験問題に対応できるとは思います。

 

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