マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

絶対値に関する問題【不等式】

大学入試対策数と式

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

目次

・今回の問題
・今回の問題の原文（記述式）
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

今回の問題

今週は絶対値をテーマに問題を考えていこうと思います。

今回の問題はyahoo!知恵袋から拾った問題です。

絶対値を含む不等式の問題です。

今回の問題の原文（記述式）

(1)不等式 $|x-8|\lt 3x$ を解け。

(2)不等式 $|3x+2|\lt -2x$ を解け。

今回の問題について

難易度は☆☆です。

絶対値を含む不等式の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

絶対値の外しは、以下の絶対値の性質が基本になります。

$\displaystyle |a|=\left\{ \begin{array}{cc} a&(a\geqq 0)\\ -a&(a\lt 0)\end{array}\right.$

教科書や参考書にはこのように書かれていますが、絶対値の中身に文字が含まれている場合は

1.絶対値の中身が正ならそのまま外す

2.絶対値の中身が負なら全部符号を変えて外す

と覚えればわかりやすいかと思います。

不等式 $|x-8|\lt 3x$ の解き方

左辺に絶対値記号がありますので、絶対値の性質に基づいて絶対値記号外していきます。

絶対値の外しには場合分けが必要です。

絶対値の中身が正のとき

$x-8\geqq 0$ すなわち $x\geqq 8$ のとき、絶対値の中身は正なので、絶対値記号はそのまま外します。

このとき、不等式は

$x-8\lt 3x$

となります。この不等式を解くと、解は $x\gt -2$ となります。

$x\geqq 8$ との共通部分を考えると $x\geqq 8$ となります。これがこの場合の不等式の解です。

絶対値の中身が負のとき

$x-8\lt 0$ すなわち $x\lt 8$ のとき、絶対値の中身が負になりますので、絶対値記号は符号をすべて変えて外します。

したがって、不等式は

$-x+8\lt 3x$

となります。この不等式を解くと、解は $x\gt 2$ となります。

$x\lt 8$ との共通部分を考えると $2\lt x\lt 8$ となります。これがこの場合の不等式の解です。

不等式の解を求める

絶対値の中身が正のときと負のときで場合分けを行いましたが、これら2つの場合は同時には起こりません。

ですので、元の不等式の解はそれぞれの場合で出てきた範囲の和集合となります。

よって $|x-8|\lt 3x$ の解は $x\gt 2$ となります。

不等式 $|3x+2|\lt -2x$ の解き方

解く方針は先程の不等式と全く同じです。

絶対値記号の中身が正になる場合と負になる場合に場合分けを行って進めていけば解答が完成していきます。

不等式 $|3x+2|\lt -2x$ の解答

$3x+2\geqq 0$ すなわち $\displaystyle x\geqq -\frac{2}{3}$ のとき、不等式は

$3x+2\lt -2x$

となる。この不等式を解くと $\displaystyle x\lt -\frac{2}{5}$ である。

$\displaystyle x\geqq -\frac{2}{3}$ より $\displaystyle -\frac{2}{3}\leqq x\lt -\frac{2}{5}$ …①

$3x+2\lt 0$ すなわち $\displaystyle x\lt -\frac{2}{3}$ のとき、不等式は

$-3x-2\lt -2x$

となる。この不等式を解くと $x\gt -2$ である。

$\displaystyle x\lt -\frac{2}{3}$ より $\displaystyle -2\lt x\lt -\frac{2}{3}$ …②

①、②より、求めるべき不等式の解は $\displaystyle -2\lt x\lt -\frac{2}{5}$

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

久しぶりの更新でした。

倉敷芸術科学大学と北海道文教大学の過去問が手に入ったので、不定期にはなりますが、解けたら解説をしていこうと思います。

徳島大学の問題も解かないといけないですね…。

しばらくは大学入試や教員採用試験で必要そうな基礎的な問題を解説できればな、と思っています。

　

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