マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

生徒の解答間違い探し【絶対値を含む方程式】

数と式

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

今回の問題

今週は生徒の解答間違い探しです。問題に対する生徒の解答に致命的な間違いが1箇所ありますので、それをぜひ考えてみてください。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

絶対値を含む方程式の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

どこが間違いかをわかりやすくするために正しい解答を示します。比較してみるとわかりやすいです。

正しい解答

$x-2\geqq 0$ すなわち $x\geqq 2$ のとき、方程式は

$x-2=2x+1$

となる。この方程式を解くと

$\begin{eqnarray*} x-2&=&2x+1\\ -x&=&3\\ x&=&-3\end{eqnarray*}$

これは $x\geqq 2$ を満たさない。

$x-2\lt 0$ すなわち $x\lt 2$ のとき、方程式は

$-x+2=2x+1$

となる。この方程式を解くと

$\begin{eqnarray*} -x+2&=&2x+1\\ -3x&=&-1\\ x&=&\frac{1}{3}\end{eqnarray*}$

これは $x\lt 2$ を満たす。

以上より、求める方程式の解は $\displaystyle x=\frac{1}{3}$

絶対値の扱い方

絶対値記号の扱いには注意が必要です。

$|a|=\left\{ \begin{array}{cc} a&(a\geqq 0)\\ -a&(a\lt 0)\end{array}\right.$

これが絶対値の定義になります。ですので、絶対値記号の中の符号によって場合分けをしていく必要があります。 $|x-2|$ の絶対値記号を外すときは $x-2\geqq 0$ のときと $x-2\lt 0$ のときに場合分けをして外さないといけない、ということになります。

生徒の間違い

生徒の解答では $|x-2|=2x+1$ という方程式で絶対値記号を外す際 $\pm (x-2)=2x+1$ としていました。この部分が誤りです。絶対値記号を外すときは絶対値の扱い方で述べたとおり、外す条件があります。その条件の下で方程式を解いていきます。そして、最後に条件をクリアしているかの確認が必要です。ちなみに、 $x=-3$ を元の方程式に代入すると等式は成り立ちません。この確認が記述されていればセーフです。

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

絶対値の取り扱いは注意が必要です。

定義通りのルールで扱えば問題を解くことができます。

今回の問題は絶対値記号の定義をしっかり理解できているかが問われる問題でした。

絶対値記号には本当に気をつけてください。

　

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