マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

生徒の解答間違い探し【2次方程式の共通解】

数と式

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

今回の問題

今週は生徒の解答間違い探しです。問題に対する生徒の解答に致命的な間違いがありますので、それを探してみてください。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

2次方程式の共通解に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

間違いを見つけやすくするために正しい解答を示します。

正しい解答

共通解を $\alpha$ とする。① $-$ ②より

$(k-1)(\alpha -3)=0$

よって、 $k=1$ または $\alpha =3$

$k=1$ のとき、方程式はともに $x^{2}+x+3=0$ となる。この方程式の解は

$\displaystyle x=\frac{-1\pm \sqrt{11}i}{2}$

となり、この方程式は実数解を持たない。

$\alpha =3$ のとき、①より $k=-4$

以上より、求める $k$ の値と共通解は $k=-4$ 、共通解は $x=3$

「かつ」と「または」の違い

生徒の解答では $(k-1)(x-3)=0$ を導き出していますが、ここまでは問題なさそうです。ところが、このあとに「 $k=1$ で共通解が $x=3$ 」という結論を出しています。この解答は「 $k=1$ かつ $x=3$ 」であることを意味していますが、 $(k-1)(x-3)=0$ を満たすには $k=1$ と $x=3$ のうちどちらか1つが成り立てばいいので、「 $k=1$ または $x=3$ 」とするのが正解です。

「 $f(x)=0$ かつ $g(x)=0」と「[tex: f(x)-g(x)=0$ 」

今回の問題は $f(x)=0$ と $g(x)=0$ の共通解を $f(x)-g(x)=0$ を計算して求めるタイプの問題です。 $f(x)-g(x)=0$ は $f(x)=g(x)$ を言っているだけで、 $f(x)=0$ かつ $g(x)=0$ であることは言っていません。ですので、今回の場合は $f(x)=0$ かつ $g(x)=0$ という条件が成り立つかのチェックが必要でした。共通解が実数であることが要請されていますが、 $k=1$ のときは虚数解を持ちましたので、この場合は除かないといけません。

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

今回は2次方程式の共通解に関する問題でした。

問題集などでよく例題として扱われています。

解き方、記述の仕方を覚えてしまうというのも良いかと思いますが、追求すると奥が深い問題だと思います。

　

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