マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

生徒の解答間違い探し【3次関数のグラフと直線】

微分積分

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

今回の問題

今週は生徒の解答間違い探しです。問題に対する生徒の解答に致命的なミスがありますので、それを探してみてください。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

極値に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

生徒の解答については、最後に次のような確認が必要でした。

正しい解答（生徒の解答の続き）

$a=3$ のとき

$\begin{eqnarray*} f^{\prime }(x)&=&3x^{2}-6x+3\\ &=&3(x-1)^{2}\end{eqnarray*}$

となるので、 $f^{\prime }(x)$ に符号の変化がないので $f(x)$ は極値を持たない。

$\displaystyle a=-\frac{15}{4}$ のとき

$\displaystyle f^{\prime }(x)=3x^{2}+\frac{15}{2}x+3$

$f^{\prime }(x)=0$ の判別式を $D$ とすると

$\begin{eqnarray*} D&=&\left( \frac{15}{2}\right) ^{2}-4\cdot 3\cdot 3\\ &=&\frac{225}{4}-36\\ &=&\frac{225}{4}-\frac{144}{4}\gt 0\end{eqnarray*}$

となるので、 $f^{\prime }(x)$ に符号の変化があるから $f(x)$ は極値を持つ。

したがって、求める $a$ の値は $\displaystyle a=-\frac{15}{4}$ 。

$f^{\prime }=0$ であっても極値を持つとは限らない

関数が極値を持つのは、導関数の符号が変化するときです。つまり「 $+\rightarrow 0\rightarrow -$ 」か「 $-\rightarrow 0\rightarrow +$ 」に変化するときで、 $0$ から同じ符号に変化する場合は極値を持ちません。導関数の値が $0$ で極値を持たない例として $f(x)=x^{3}$ があります。この関数は $x=0$ で $f^{\prime }(x)=0$ となりますが、極値を持ちません。図で見るとわかりやすかと思いますので、以下に $y=x^{3}$ のグラフと今回の問題の場合の $y=f(x)$ のグラフを示します。

導関数の値が $0$ であっても極値を持たない例（ $y=x^{3}$ のグラフ）

$a=3$ のときの $y=f(x)$ のグラフ

$\displaystyle a=-\frac{15}{4}$ のときの $y=f(x)$ のグラフ

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

今回の極値に関する問題は導関数の値が $0$ であることから定数の値を求めましたが、その定数の値のときに極値を持つかどうかの確認が必要です。

導関数の値が $0$ であることが極値を持つための必要十分条件ではないことに注意が必要です。

上でも例を挙げたように「導関数の値が $0$ ならばその点で極値を取る」という命題に対する反例がありますので、このような反例に当てはまっていないかのチェックをすることを常に意識しておきたいところです。

　

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