マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

生徒の解答間違い探し【階差数列】

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!

目次

今回の問題
今回の問題について
今回の問題の解説
いかがだったでしょうか?〜解いてみた感想〜

今回の問題

今週は生徒の解答間違い探しです。問題に対する生徒の解答に致命的な間違いが1箇所あります。それをぜひ探してみてください。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

階差数列を用いて数列の一般項を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

生徒の解答の間違いを見つけやすくするために正しい解答を示します。比較すると見つけやすいかと思います。

正しい解答

数列 3,\ 4,\ 7,\ 12,\ 19,\ 28,\ 39,\ \cdots  \{ a_{n}\}、この階差数列を \{ b_{n}\}とすると b_{n}=2n-1なので n\geqq 2のとき

 \begin{eqnarray*} a_{n}&=&3+\sum_{k=1}^{n-1}(2k-1)\\ &=&3+2\cdot \frac{1}{2}n(n-1)-(n-1)\\ &=&3+n^{2}-n-n+1\\ &=&n^{2}-2n+4\end{eqnarray*}

 n=1のとき n^{2}-2n+4=3となり、このときも成り立っている。

したがって、数列 \{ a_{n}\}の一般項は a_{n}=n^{2}-2n+4

和の記号・和の公式

公式としてよく使われるのは

 \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)

 \displaystyle \sum_{k=1}^{n}c=cn

です。注意が必要なのは後者です。 \displaystyle \sum_{k=1}^{n}c c n回足すという意味になりますので cnとなります。では、 \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}cはどうでしょうか?これは c n-1回足すという意味です。ですので \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}c=(n-1)cということになります。

生徒の間違い

 \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}1=nとして計算しているところが間違いでした。間違う原因として考えられるのは

・凡ミス

・勘違い

・和の記号をしっかり理解できていない

ということがありますので、このようなミスを発見した場合はヒヤリングなどをして分析をしたほうが良いです。特に和の記号がしっかりと理解できていない場合は記号の理解から入る方が良いかもしれません。

いかがだったでしょうか?〜解いてみた感想〜

今回の問題は和の記号の意味がしっかり理解できているかが問われる問題でした。

解き方がバッチリだと計算ミスを見落としがちです。

階差数列の問題で n=1のときが成り立たなかったら一度計算ミスを疑ってみてください。

 

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