徳島県教員採用試験の問題【2019年中学校第1問】

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今回の問題

今週は2019年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中学校第1問です。

今回の問題の原文（記述式）

次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1) $\sqrt{126-3n}$ が整数となる自然数 $n$ の値を求めなさい。

(2)連続する2つの自然数がある。小さい方を5で割ったあまりが2であるとき、2つの自然数の和は5の倍数になる。このことを実際の自然数を使って例を1つ示し、その後、文字を使って説明しなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

平方数に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$\sqrt{126-3n}$ が整数となるときを考える

$\sqrt{126-3n}$ が整数となるのは $126-3n$ が平方数になるときです。平方数というのは、同じ整数を2回かけて得られる数のことで、例えば $3\times 3=9$ や $(-4)\times (-4)=16$ が平方数です。 $\sqrt{126-3n}$ が整数であるためには $126-3n\geqq 0$ であることが条件ですので、この不等式から $n\leqq 42$ です。したがって、 $n$ が自然数であることから $0\leqq n\leqq 42$ の範囲で考えれば良いことになります。 $126-3n$ の最大値が $126$ ですので、これ以下の平方数を考えれば良いですが、 $126-3n$ は3の倍数ですので、0を含んだ3の倍数かつ平方数であるものを考えます。したがって、次の場合が考えられます。

・ $126-3n=0$ のとき→ $n=42$

・ $126-3n=9$ のとき→ $n=39$

・ $126-3n=36$ のとき→ $n=30$

・ $126-3n=81$ のとき→ $n=15$

この4つの数が求めるべき解答です。

(2)の問題について

マーク式にした上の画像の問題は(1)の問題のみにしましたが、実際に出題された問題は今回の問題の原文（記述式）のところにあるように出題がありますので、この問題も解説していこうと思います。まず、具体例を1つ示す必要がありますが、この例はなんでも良いので1つ数を決めて実験すると良いです。条件を満たすように数を決めますが、例えば $22$ は5で割ると2余る数ですので条件に合う数です。この数ともう1つ大きい自然数 $23$ との和を考えると $22+23=45$ となり、5の倍数になります。このことを文字式を使って説明をしていきます。