マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

生徒の解答間違い探し【2次関数】

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!

目次

今回の問題
今回の問題について
今回の問題の解説
いかがだったでしょうか?〜解いてみた感想〜

今回の問題

今週は生徒の問題の間違い探しです。問題に対する生徒の解答に致命的な間違いが1箇所ありますので、それをぜひ探してみてください。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

条件がある式の最大値と最小値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

間違いを見つけやすくするために正しい解答を示してみます。

正しい解答

 x^{2}+y^{2}=4より x^{2}=4-y^{2}…①である。 x^{2}\geqq 0なので、 4-y^{2}\geqq 0である。この不等式を解くと

 -2\leqq y\leqq 2…②

となる。 x^{2}+2yに①を代入すると

 \begin{eqnarray*} x^{2}+2y&=&(4-y^{2})+2y\\ &=&-y^{2}+2y+4\\ &=&-(y-1)^{2}+5\end{eqnarray*}

したがって、 x^{2}+2yの最大値は y=1,\ x=\pm \sqrt{3}のとき 5、最小値は y=-2,\ x=0のとき -4である。

変数の取り得る値の範囲

条件式 x^{2}+y^{2}=4から x^{2}=4-y^{2}となりました。関数の問題は断りがない限り変数は実数全体を動きます。ですので、今回の問題の場合も x,\ yは実数になります。 xは実数ですので x^{2}\geqq 0となります。したがって、 4-y^{2}\geqq 0を満たさなければいけません。

生徒の間違い

生徒が犯したミスは 4-y^{2}\geqq 0という条件を無視したところにあります。問題文に「最大値と最小値を求めよ」という記述がある場合は最大値と最小値が存在するように問題が設定されています。ですので、最小値がない時点で手を止めてどこが間違っているかをチェックしておかないといけません。

いかがだったでしょうか?〜解いてみた感想〜

条件式がある場合は変数の取りうる値の範囲に注意が必要です。

特に2次式が出た場合は x^{2}\geqq 0意識して解かないと今回の生徒のようなミスが生じます。

隠れた条件には気をつけておきたいですね。

 

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