マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2018年1日目第4問】

図形と方程式入試問題

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今週は東京女子大学の2018年の問題です。

今回は文系学部1日目第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

領域を図示する問題と点と直線の距離の最小値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

前半の領域を求める問題が少し難しいかと思います。

ですが、入試問題ではよく使いテクニックですので身に付けておいたほうが良いです。

$a$ がすべての実数の値を動くとき、直線 $y=ax+1-a^{2}$ が通る点を $(X,Y)$ とおきます。

直線の式を変形すると

$a^{2}-Xa+Y-1=0$

となります。

$a$ は実数なので、この $a$ についての2次方程式の判別式を $D$ とすると

$D=X^{2}-4Y\geqq 0$

が条件となります。

この条件式を変形すると $\displaystyle Y\leqq \frac{1}{4}X^{2}+1$ となります。

これを図示すると下の図のようになります。（求める領域は青く塗ってある部分で境界線上の点を含みます）

直線 $ax-y+1-a^{2}=0$ と点 $(0,4)$ との距離は

$\displaystyle \frac{|-a^{2}-3|}{\sqrt{a^{2}+1}}=\frac{a^{2}+3}{\sqrt{a^{2}+1}}$

$\displaystyle =\sqrt{a^{2}+1}+\frac{2}{\sqrt{a^{2}+1}}$

となります。

$\displaystyle \sqrt{a^{2}+1}\gt 0,\ \frac{2}{\sqrt{a^{2}+1}}\gt 0$ ですので、相加平均と相乗平均の関係より

$\displaystyle \sqrt{a^{2}+1}+\frac{2}{\sqrt{a^{2}+1}}\geqq 2\sqrt{\sqrt{a^{2}+1}\cdot \frac{2}{\sqrt{a^{2}+1}}}=2\sqrt{2}$

等号成立条件は $\displaystyle \sqrt{a^{2}+1}=\frac{2}{\sqrt{a^{2}+1}}$ すなわち $a=\pm 1$ のときです。

このときが求める最小値ですので、直線 $ax-y+1-a^{2}=0$ と点 $(0,4)$ との距離の最小値は $a=\pm 1$ のとき $2\sqrt{2}$ です。

いかがだったでしょうか？

前半が少し難しかったかもしれません。

式が $a$ に関して2次式で、 $a$ が実数であることから、2次方程式を作って判別式が $0$ 以上であることを使うと条件をあぶり出すことができます。

ですが、この方法は訓練していかないと思いつかないかもしれません。

問題集でも載っていることが少ないですので、運が悪いと同じような問題に出会わない可能性がありそうな気がします。

　

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