マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京未来大学の問題ver.20220729

2次関数入試問題

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今週は東京未来大学2017年の問題です。

今回は2日目の第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

2次関数の基礎的な問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)2次不等式の問題です。

解く手順は

①2次の係数を正にしておく

② $=0$ の方程式を解く

③放物線のグラフを考えて不等式の解を求める。

となります。この手順で解いていくと

$-2x^{2}+6x-1＞0$

① $2x^{2}-6x+1＜0$

② $2x^{2}-6x+1=0$ の解は $\displaystyle x=\frac{3\pm \sqrt{7}}{2}$ なので、求める不等式の解は

③ $\displaystyle \frac{3-\sqrt{7}}{2}＜x＜\frac{3+\sqrt{7}}{2}$

今回の不等式の場合は放物線 $y=2x^{2}-6x+1$ のグラフが $x$ 軸より上側に来ている $x$ の値が解となります。

図は下のようになります。

(2)2次関数の問題ですが、この問題の解き方は

①の前半：頂点を求める。→平方完成を行う

①の後半： $x$ 軸と1点で交わるような定数を求める。→ $=0$ の方程式の判別式をとる

②：平行移動の問題→平方完成をして頂点を求める

③：放物線が切り取る $x$ 軸の長さ→ $=0$ の方程式を解いて解を求める

がよく考えられる方針です。

①の前半：式を平方完成すると $t=(x-2a)^{2}-6a^{2}+4a+1$ ですので、この放物線の頂点は $(2a,-6a^{2}+4a+1)$ …(A)となります。

放物線と $x$ 軸との交点の個数は、2次方程式 $x^{2}-4ax-2a^{2}+4a+1=0$ …(B)の実数解の個数と一致します。

①の後半：方程式(B)の判別式を $D$ とすると $D/4=6a^{2}-4a-1$ となりますが、放物線と $x$ 軸との交点が1点であるときの条件は $D=0$ ですので、この方程式を解いて $\displaystyle a=\frac{2\pm \sqrt{10}}{6}$ となります。

②放物線を $x$ 軸方向に3、 $y$ 軸方向に4だけ平行移動させると頂点の $x$ 座標が4となることから、(A)より $2a+3=4$ という方程式が成り立ちます。

この方程式を解くと $\displaystyle a=\frac{1}{2}$ ですので、このとき、平行移動させた後の放物線の頂点は

$-6a^{2}+4a+1+4=-\frac{3}{2}+2+5=\frac{11}{2}$

③ $D＞0$ のとき、方程式(B)の解は $\displaystyle a=\frac{4a\pm \sqrt{D}}{2}=2a\pm \sqrt{D/4}$ ですので、放物線が切り取る $x$ 軸の長さは $2\sqrt{D/4}$ です。

この長さが2であるとき、方程式 $2\sqrt{6a^{2}-4a-1}=2$ が立ちます。

この方程式を解くと $\displaystyle a=-\frac{1}{3},1$ となります。

いかがだったでしょうか？

2次関数の分野での基礎的な問題でした。

定期テストの復習さえすれば解けるようになるのではないでしょうか。

日ごろの練習は馬鹿にはできませんので、定期テストが終わっても定期的に腐臭が必要そうです。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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