マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京都立大学の問題【2020年前期日程第2問】

数列入試問題

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今週は2019年首都大学東京、2020年東京都立大学の問題です。

今回は2020年文系学部前期日程第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

連立漸化式の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

漸化式より $\displaystyle x_{n+1}-y_{n+1}=x_{n}-y_{n}$ になります。

これは数列 $\{ x_{n}-y_{n}\}$ が $x_{1}-y_{1}$ であることを表しています。したがって、この値を求めれば良いということになります。

$\displaystyle x_{1}=\frac{1}{2},\ y_{1}=0$ なので $\displaystyle x{1}-y_{1}=\frac{1}{2}$ となりますのから、 $\displaystyle x_{n}-y_{n}=\frac{1}{2}$ となります。

これを用いると

$\left\{ \begin{array}{ccc} x_{n+1}&=&x_{n}+1\\ y_{n+1}&=&\displaystyle x_{n}+\frac{1}{2}\end{array}\right.$

となりますので $\displaystyle x_{n}=n+1,\ y_{n}=n+\frac{1}{2}$ となります。

この2式から $n$ を消去すると、 $\displaystyle y_{n}=x_{n}-\frac{1}{2}$ となりますので点 $(x_{n},y_{n})$ は直線 $\displaystyle y=x-\frac{1}{2}$ 上にあることがわかります。

また、中心が $\displaystyle \left( \frac{19}{2},19\right)$ で半径が $2\sqrt{17}$ の円の式は $\displaystyle \left( x-\frac{19}{2}\right) ^{2}+(y-19)^{2}=68$ となります。

ここまで求められている直線と円との交点の $y$ 座標を求めると、 $y=11,\ 17$ となります。

$y_{n}=n-1$ でしたので、 $11\lt n-1\lt 17$ を満たすような自然数 $n$ を求めれば、この問題は完成です。

いかがだったでしょうか？

連立漸化式は教科書では扱われていませんので、解くのがなかなか難しい部分ではあります。

今回の場合は $x_{n}-y_{n}$ の値を求めることにより等差数列・等比数列に持っていくことが可能です。

後半は図形と方程式の話になってきますが、わかりずらい場合は図を描くと方針が見えてくると思います。

　

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