マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2019年2日目第3問】

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今週は東京女子大学2019年の問題です。

今回は文系学部2日目第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

面積を2等分する放物線を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

まず、放物線 Cが点 Qを通るときを考えます。

放物線 Cが点 Q(4,4)を通るとき、方程式 4=16aが成り立ちますので、この方程式を解いて \displaystyle a=\frac{1}{4}となります。

次に放物線 Cが正方形OPQRの面積を2等分するときの状況を考えます。

このとき、方程式 Cは線分 PQを通ることが考えられますので、 \displaystyle a\gt \frac{1}{4}…①が条件となります。

正方形OPQRの面積が16ですので、 y軸と放物線 C、直線 y=4で囲まれる部分の面積が8となるような aの値を求めれば良いです。

 y軸と放物線 C、直線 y=4で囲まれる部分の面積は、座標平面を横に向けて考えると

 \displaystyle \int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{a}}}(4-ax^{2})dx=\frac{16}{3\sqrt{a}}

この値が8となれば良いので \displaystyle a=\frac{4}{9}となり、この値は条件①を満たします。

いかがだったでしょうか?

最後の座標平面を横にして考えることがなかなか出てこないかもしれません。

そうでなければ無理関数を扱うことになりますので、数学Ⅲを習っていない人からすると苦しいかもしれません。

ただ、この問題は文系学部で出題されたものですので、数学Ⅲの知識を使わずに解く方法が必ずあるはずです。

 

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