マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2018年2日目第2問】

ベクトル入試問題

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今週は東京女子大学2018年の問題です

今回は文系学部2日目第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

平行四辺形に関するベクトルの問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}$

$\displaystyle =\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$

$\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DQ}$

$\displaystyle =\frac{2}{3}\vec{a}+\vec{b}$

のように求めることができます。

点 $R$ は線分 $DP$ 上にあるので $t$ を実数とすると

$\overrightarrow{AR}=t\overrightarrow{AD}+(1-t)\overrightarrow{AQ}$

$\displaystyle (1-t)\vec{a}+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}t)\vec{b}$

また、点 $R$ は直線 $AQ$ 上にあるので $\overrightarrow{AR}=k\overrightarrow{AQ}$ となる実数 $k$ が存在します。

この2点から、次が成り立ちます。

$\displaystyle (1-t)\vec{a}+(/frac{1}{3}+\frac{2}{3}t)\vec{b}=\frac{2}{3}k\vec{a}+k\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は平行ではなく $0$ ベクトルでもないので、次の連立方程式が成り立ちます。

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{ccc} 1-t&=&\frac{2}{3}k\\ \frac{1}{3}+\frac{2}{3}t&=&k \end{array}\right.$

この連立方程式を解くと $\displaystyle t=\frac{7}{13},\ k=\frac{9}{13}$ となりますので、 $\displaystyle \overrightarrow{AR}=\frac{9}{13}\overrightarrow{AQ}$ であることがわかります。

したがって $AR:RQ=9:4$ となります。

いかがだったでしょうか？

最初のほうはベクトルの基本的な計算によって求めることができます。

後半は位置ベクトルを用いた直線の表現を使えば $overrightarrow{AR}$ を求めることができます。

いずれも基礎問題になりますので、入試問題を解く前に確認しておきたい問題です。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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